210
правок
Изменения
м
Нет описания правки
{{Лемма
|about=о длине цикла
|statement= Пусть <tex>G</tex> {{---}} произвольный [[Основные определения теории графов#def_undirected_graph_1|неориентированный граф ]] и <tex>\delta</tex> {{---}} минимальная [[Основные определения теории графов#def_graph_degree_1|степень ]] его вершин. Если <tex>\delta \geqslant 2</tex>, то в графе <tex>G</tex> существует [[Основные определения теории графов#def_graph_cycle_1|цикл ]] <tex>C</tex> длиной <tex>l \geqslant \delta + 1</tex>.
|proof=
Рассмотрим путь максимальной длины <tex>P = v_0 v_1 \dots v_s</tex>. Все смежные с <tex>v_0</tex> вершины лежат на <tex>P</tex>. Обозначим <tex>k = \max \{i: v_0 v_i \in E\} </tex>. Тогда <tex>\delta \leqslant \deg v_0 \leqslant k</tex>. Цикл <tex>C = v_0 v_1 \dots v_k v_0</tex> имеет длину <tex>l = k + 1 \geqslant \delta + 1</tex>
Пусть <tex>G</tex> {{---}} неориентированный граф и <tex>\delta</tex> {{---}} минимальная степень его вершин. Если <tex>n \geqslant 3</tex> и <tex>\delta \geqslant n/2</tex>, то <tex>G</tex> {{---}} [[Гамильтоновы графы|гамильтонов граф]].
|proof=
Пусть <tex>C</tex> {{- --}} цикл наибольшей длины в графе <tex>G</tex>. По лемме его длина <tex>l \geqslant \delta + 1</tex>. Если <tex>C</tex> - гамильтонов, то теорема доказана. Предположим обратное, т. е. <tex>G \backslash C \ne \varnothing</tex>. Рассмотрим путь <tex>P = x \dots y : P \cap C = \{y\}</tex> наибольшей длины <tex>m</tex>. Заметим, что по условию <tex>\delta \geqslant n/2</tex>, а значит <tex>\delta \geqslant n - \delta > n - l = |V(G \backslash C)|</tex> и каждая вершина из <tex>G \backslash C</tex> смежна с некоторыми вершинами из <tex>C</tex>.
Заметим, что вершина <tex>x</tex> не может быть смежна:
* с вершинами из <tex>C</tex>, расстояние от которых до <tex>y</tex> (по <tex>C</tex>) не превышает m. Действительно, пусть вершина <tex>v \in C</tex> и расстояние от <tex>v</tex> до <tex>y</tex> по циклу меньше либо равно <tex>m</tex>. Тогда этот участок цикла можно заменить на <tex>v \rightarrow x \rightarrow P \rightarrow y</tex>, длина которого <tex>m + 1</tex>. Таким образом образуется цикл большей длины, что противоречит предположению о максимальности цикл <tex>C</tex>.
* [[Теорема Хватала]]
* [[Теорема Оре]]
* [[Теорема Поша]]
== Источники информации ==
* [[wikipedia:en:Dirac's_Theorem|Wikipedia {{---}} Dirac's Theorem]]
* Graham, R.L., Groetschel M., and Lovász L., eds. (1996). ''Handbook of Combinatorics'', Volumes 1 and 2. Elsevier (North-Holland), Amsterdam, and MIT Press, Cambridge, Mass. ISBN 0-262-07169-X.
