262
правки
Изменения
Немного изменил названия переменных, чтобы избавиться от путаницы между a и \alpha
Представим <tex>\vec{a_i}</tex> как <tex>\vec O + \vec{r_i}</tex>, а <tex>\vec x</tex> — как <tex>\vec O + \vec{r_x}</tex>. Тогда проекции точек на параболоид будут выглядеть так:
<tex>b_i = (\vec O + \vec{r_i}, (\vec O + \vec{r_i})^2) = (\vec O + \vec{r_i}, \vec O^2 + \vec{r_i}^2 + 2\vec O \vec {r_i}) = (\vec O + \vec{r_i}, \vec O^2 + R^2 + 2\vec O \vec {r_i})</tex>
<tex>b_x = (\vec O + \vec{r_x}, (\vec O + \vec{r_x})^2) = (\vec O + \vec{r_x}, \vec O^2 + \vec{r_x}^2 + 2\vec O \vec {r_x}) = (\vec O + \vec{r_x}, \vec O^2 + (tR)^2 + 2\vec O \vec {r_x})</tex>
{{Acronym|Так как <tex>\{r_i\}</tex> аффинно независимы, то <tex>r_x</tex> можно представить как <tex>r_x = \sum_{i=1}^{n+1}\alpha_i k_i r_i</tex>, причём <tex>\sum_{i=1}^{n+1}\alpha_i k_i = 1</tex>|Общеизвестный факт}}.
Запишем определитель, показывающий положение точки <tex>x</tex> на параболоиде относительно плоскости, заданной точками <tex>\{a_ib_i\}</tex>:
<tex>
</tex>
Умножим первые <tex>n+1</tex> строк на <tex>\alpha_ik_i</tex> и вычтем из последней:
<tex>
\vdots & \vdots & \vdots \\
O + r_{n+1} & O^2 + R^2 + 2Or_{n+1} & 1 \\
r_x - \sum_{i=1}^{n+1}\alpha_i k_i r_i & (tR)^2 - R^2 + 2O(r_x - \sum_{i=1}^{n+1}\alpha_i k_i r_i) & 0
\end{vmatrix}
=
</tex>
Из определителя видно, что знак определителя зависит от ориентации исходных точек <tex>\{a_i\}</tex> и от знака <tex>t^2-1</tex>. Для определённости будем считать, что точки <tex>\{a_i\}</tex> ориентированы так, что предикат поворота положителен. Тогда если <tex>t > 1</tex> (точка <tex>x</tex> лежит вне окружности), то определитель положителен, то есть точка <tex>x</tex> лежит выше плоскости, заданной точками <tex>\{a_ib_i\}</tex>. Если же <tex>t < 1</tex> (точка <tex>x</tex> лежит внутри окружности), то определитель отрицателен, и точка <tex>x</tex> лежит ниже плоскости. Если же точка лежит на окружности, то она попадает на ту же плоскость.
}}
{{Теорема
