302
правки
Изменения
Нет описания правки
Перепишем это уравнение в виде
<tex>Cat(s) - s^{2}Cat^{2}(s)= 1.,</tex>
или
<tex>Cat(s) = \cfrac{1}{1 - \cfrac{s^{2}}{1 - \cfrac{s^{2}}{1 - \cdots}}}.</tex>
Полученное разложение нужно понимать следующим образом. Если мы оборвем непрерывную дробь на <tex>n</tex>-м шаге (оставив вместо нее конечную непрерывную дробь, которая представляет собой рациональную функцию), то коэффициенты разложения полученной функции по степеням <tex>s</tex> будут совпадать с коэффициентами разложения функции <tex>Cat(s)</tex> вплоть до члена <tex>s^{2n}</tex>.
Заметим, что из-за наличия множителя <tex>s^2</tex> в числителе очередной дроби, присоединяемой на <tex>(n + 1)</tex>-м шаге, увеличение числа членов в непрерывной дроби не приводит к изменению первых <tex>n</tex> коэффициентов в ее разложении. Например,
<tex>\cfrac{1}{1 - s^{2}} = \boldsymbol{1 + s^2} + s^4 + s^6 + s^8 + \cdots,</tex>
<tex>\cfrac{1}{1 - \cfrac{s^2}{1 - s^2}} = \boldsymbol{1 + s^2 + 2s^4} + 4s^6 + 8s^8 + \cdots,</tex>
<tex>\cfrac{1}{1 - \cfrac{s^{2}}{1 - \cfrac{s^{2}}{1 - s^2}}} = \boldsymbol{1 + s^2 + 2s^4 + 5s^6} + 13s^8 + \cdots</tex>
Стабилизирующаяся часть разложения выделена.
==См. также==
