Изменения
check
<tex>Y_0 = 1, Y_i = Y_{i - 1} + Z_i - 1</tex>.
}}
Представлять себе описанный только что процесс можно так. В начальный момент времени есть одна активная частица. Затем она '''Мб создает?''' делает <tex>Z_1 \geq 0</tex> (может быть достигнуто, так как величина <tex>Z_1</tex> равна нулю с положительной вероятностью) активных потомков и перестает быть активной. На следующем шаге все повторяется: какая-то частица (порядок роли не играет) порождает <tex>Z_2</tex> новых частиц, а сама перестает быть активной. И так далее. Данный процесс может как завершиться (частицы перестанут быть активными), так и продолжаться бесконечно.<br>
Говоря в терминах данного выше определения, <tex>Y_i</tex> и <tex>Z_i</tex> {{---}} количество активных и порожденных частиц в момент времени <tex>t</tex>, соответственно.
{{Теорема
|id = th1
|statement=Пусть <tex>\lambda \leq 1</tex>. Тогда с вероятностью 1 процесс <tex>Y_t</tex> вырождается, т.е. '''А почему < 0?'''<tex>P(\exists t: Y_t \leq 0) = 1</tex>.
}}
{{Теорема
Снова зафиксируем какую-нибудь активную вершину <tex>v_2</tex>, и повторим процесс. Не меняем статус остальных уже активных вершин.
Продолжая этот ветвящийся процесс, мы в конце концов получим лишь неактивные (образующие компоненту, содержащую <tex>v_1</tex>) и нейтральные вершины.'''Стоит добавить, что это похоже на бфс'''
Обозначим число активных вершин в момент времени <tex>t</tex> через <tex>Y_t</tex>, число нейтральных вершин {{---}} через <tex>N_t</tex>, а число соседей вершины, которую собираемся пометить как неактивную, {{---}} через <tex>Z_t</tex>. Тогда <tex>Y_0 = 1,Y_t = Y_t−1 + Z_t − 1</tex>. Все введенные величины зависят от графа <tex>G</tex> и от последовательности выбираемых вершин <tex>v_1,\dotsc</tex>.
|about=о гигантской компоненте
|statement=Рассмотрим модель <tex>G(n, p)</tex>. Пусть <tex>p = \dfrac{ c }{n}</tex>.
Если <tex>c < 1</tex>, то найдется такая константа <tex>\beta = \beta(с)</tex>, что а.п.н. '''Стоит сделать сноску или расшифровать хотя бы раз''' размер каждой связной компоненты случайного графа не превосходит <tex>\beta \ln n</tex>.Если же <tex>c > 1</tex>, то найдется такая константа <tex>\gamma = \gamma(c)</tex>, '''получается, что бета и гамма - не константы, а функции от с? не очень понятно, что ты имеешь ввиду''' что а.п.н. в случайном графе есть ровно одна компонента размера <tex>\geq\gamma n</tex>. Размер остальных компонент не превосходит <tex>\beta \ln n</tex>.
|proof=
Приведем здесь идеи<ref>Введение в математическое моделирование транспортных потоков: Учебное пособие/Издание 2-е, испр. и доп. А. В. Гасников и др. Под ред. А. В. Гасникова.{{---}} М.: МЦНМО, 2013 {{---}} C.330-339 {{---}} ISBN 978-5-4439-0040-7</ref>, изложенные А.М. Райгородским, основанные на доказательстве<ref>Karp R. The transitive closure of a random digraph//Random structures and algorithms. 1990. V. 1. P. 73–94.</ref> Р. Карпа. Данное доказательство не настолько строгое, как приведенное в <ref name="trueproof">Алон Н., Спенсер Дж. Вероятностный метод. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2007.</ref>, однако
<tex>P_{n, p}(\exists v_1 : Y_{t_0} > 0) \rightarrow 0, n \rightarrow \infty</tex>
Поскольку <tex>P_{n, p}(\exists v_1 : Y_{t_0} > 0) \le nP_{n, p}(Y_{t_0} \ge 0)</tex>, '''Почему?'''достаточно найти такое <tex>\beta</tex>, при котором
<tex>P_{n, p}(Y_{t_0} > 0) = o\left(\dfrac{1}{n}\right).</tex>
<tex>P_{n, p}(Y_{t_0} > 0) = P_{n, p}(\xi_{t_o} > t_0) \thickapprox P_{n, p}(Binom(n, 1 - (1 - p)^{t_0}) > t_0) \thickapprox</tex><br>
(с учетом асимптотики <tex>1 - (1 - p)^{t_0} \thicksim pt_0) </tex><br>
<tex>\thickapprox P_{n, p}(Binom(n, pt_0) > t_0) \thickapprox</tex><br>'''Что такое Binom? почему примерно оно так преобразуется?'''
(с учетом центральной предельной теоремы) <br>
<tex> \thickapprox \int\limits_{\frac{t_0 - npt_0}{\sqrt{npt_0(1 - pt_0)}}}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx</tex>.
'''Сделай, чтобы знаменатель был не под знаком интеграла, а под всем интегралом'''
Поскольку <tex>c < 1</tex>, нижний предел интегрирования имеет порядок <tex>\sqrt{t_0}</tex>. Таким образом, весь интеграл не превосходит величины
<tex>e^{−\delta t_0}</tex>. Выберем <tex>\beta</tex> таким, чтобы <tex>e^{−\delta t_0}</tex> оказалось меньше, чем
<tex>e^{-2 \ln n} = \dfrac{1}{n^2}</tex>, и в случае <tex>c < 1</tex> теорема доказана.'''Прикольно было бы узнать порядок b'''<br>
<br>
В данном случае ветвящийся процесс на графе нужно «запускать» не один раз, а многократно. Только так удается доказать, что почти наверняка хотя
бы в одном запуске возникнет гигантская компонента. Подробности можно найти в <ref name="trueproof" />, мы же лишь поясним, откуда в текущей ситуации появляется константа <tex>\gamma</tex> из формулировки предыдущей теоремы и почему она совпадает с одноименной константой из той же теоремы.'''Лучше сделать ссылку на прокрутку статьи вверх, но в целом можно забить. Вообще "предыдущая теорема" - не очень хорошая ссылка'''
Чтобы доказать, что есть гигантская компонента, необходимо, чтобы ветвящийся процесс на графе не вырождался даже
Применим центральную предельную теорему к
<tex>P_{n, p}(Y_{t_0} \le 0)\thickapprox P_{n, p}(Binom(n, 1 - e^{-c\alpha}) \le \alpha n).</tex>
Интегрирование пойдет '''переформулируй''' от минус бесконечности до
<tex>\dfrac{\alpha n - n(1 - e^{-c\alpha})}{\sqrt{n(1 - e^{-c\alpha})e^{-c\alpha}}}</tex>.
=== Поиск в ширину ===
Когда <tex>p = \frac{1}{n}</tex> начинает образовываться гигантская компонента. Этот процесс происходит в два этапа: при <tex>p = \frac{1}{n}</tex> возникают компоненты из <tex>n^{\frac{2}{3}}</tex> вершин, а.п.н. являющиеся деревьями. При <tex>p = \frac{d}{n}, d > 1</tex>, появляется гигантская компонента размером, пропорциональным количеству вершин во всем графе.<br>
После превышения <tex>p</tex> значения <tex>\frac{d}{n}</tex>, все неизолированные вершины оказываются в гигантской компоненте. При достижении <tex>\frac{\ln n}{2n}</tex>, в графе остаются только изолированные плюс гигантская компонента. Когда <tex>p</tex> становится равной<tex>\frac{\ln n}{n}</tex>граф становится связным. При <tex>p = \frac{1}{2}</tex> верно: '''тут такое же замечание''' <tex>\forall \varepsilon > 0</tex> в <tex>G</tex> существует клика размером <tex>(2 - \varepsilon )\log n</tex>.<br>
<br>
Чтобы вычислить размер компоненты связности, пройдемся с помощью [[Обход в ширину|поиска в ширину]] по ней, стартуя из произвольной вершины и переходя к очередной неисследованной вершине, только если ребро между ними существует (данный факт необходимо установить независимо от других ребер, с вероятностью <tex>p = \frac{d}{n}</tex>). Если ребро существует, пометим следующую вершину как "открытую". Алгоритм закончит свою работу (обойдет всю компоненту связности), когда множество неисследованных "открытых" вершин станет пустым.
[[Файл:Bfs_problem_on_random_graph.png|300px|thumb|center|Проблема поиска в ширину на случайном графе]]
<br>
На данном изображении представлены результаты работы поиска в ширину , начавшемся в вершине <tex>1</tex> на двух графах: в первом у всех ребер <tex>p = 1</tex>, во втором же факт существования ребра определялся по ходу работы алгоритма {{---}} ребра, отмеченные пунктиром, не существуют. Возникающая проблема состоит в том, что, к примеру, Проблема возникает, '''очень странная синтаксическая конструкция''' когда алгоритм просто не доходит до каких-то ребер, не выясняя, существуют они или нет: находясь в вершине <tex>2</tex>, алгоритм не делал запрос о ребре <tex>(2, 3)</tex>, так как у этому моменту вершина <tex>3</tex> уже была исследована. Ребра, которые потенциально могли быть не изученными, помечены на рисунке точечным пунктиром.
=== Неоткрытые вершины ===
Будем считать шагом алгоритма поиска открытие новой вершины. После первых <tex>i</tex> шагов алгоритма, любая из вершин, кроме стартовой, может быть неоткрытой с вероятностью <tex>p = (1 - \frac{d}{n})^i</tex>. Пусть <tex>z_i</tex> {{---}} число вершин, открытых за первые <tex>i</tex> шагов алгоритма поиска. <tex>z_i</tex> распределены как <tex>Binomial(n − 1,1 − (1 - \frac{d}{n})^i)</tex>.<br>'''Унифицируй и пиши везде либо Binom, либо Binomial'''
== Ветвящийся процесс =='''Наверное, лучше придумать другой заголовок'''Пользуясь идеями, изложенными в доказательстве леммы, переходим перейдем от модифицированного поиска в ширину к ветвящемуся процессу. Этот процесс используется для генерации случайных деревьев, возможно, бесконечного размера.<br>
Рассмотрим натуральное случайное число <tex>y</tex>, обозначающее количество детей у очередной исследованной вершины. Каждый раз это значение выбирается случайно и независимо.<br>
Процесс построения дерева заканчивается, образуя конечное дерево, когда у каждой вершины построены все ее "дети"'''Почему сначала не в кавычках, а потом в кавычках? Дай тогда формальное определение. Общая просьба к тексту, кстати, писать чуть более научно, использовать меньше вводных слов и предложений в 3 слова'''. Данный процесс может продолжаться бесконечно. <br>
Пусть <tex>y \thicksim Binomial(s = n−c_1\log n, \frac{d}{n})</tex>. Пусть <tex>p′</tex> {{---}} вероятность того, что <tex>size(cc(v)) = O(\log n)</tex> в модифицированном поиске в ширину. Пусть <tex>q</tex> {{---}} вероятность окончания процесса. Тогда <tex>q \geq p′</tex>, поскольку поиск в ширину, заканчивающийся с <tex> \le c_1\log n</tex> вершинами, приводит к окончанию построения дерева.<br>
Пусть <tex>p_i = \binom{s}{i}(\frac{d}{n})^i(1 − \frac{d}{n})^{s − i}</tex> {{---}} вероятность, что <tex>y</tex> производит <tex>i</tex> детей. Тогда:<br>
=== Вероятность исчезновения ===
{{Определение
|definition='''Вероятность исчезновения''' (extinction probability) {{---}} вероятность, того, что дерево ветвящегося процесса будет конечным, то есть данный (процесс завершится через конечное время).
}}
{{Утверждение
<tex>f(x) = \sum_{i = 0..\infty}p_ix^i,</tex> где <tex>p_i</tex> {{---}} вероятность того, что <tex>y = i</tex><br>
<br>
Так как <tex>q</tex> {{---}} вероятность конечности алгоритма, то, если у корневой вершины <tex>i</tex> потомков, то построение каждого из поддеревьев должно завршитьсязавершиться, и это произойдет с вероятностью <tex>q^i</tex>. Таким образом:, <br>
<tex>q = \sum_{i = 0..\infty}p_iq^i</tex><br>
Таким образом, '''Либо убери вводное слово, либо придумай другое'''<tex>q</tex> является корнем уравнения:<br>
<tex>x = \sum_{i = 0..\infty}p_ix^i \Leftrightarrow f(x) = x</tex><br>
<br>
Рассмотрим решение данного уравнения на <tex>[0; 1]</tex>
<tex>x = 1</tex> {{---}} всегда решение данного уравнения, так как <tex>\sum_{i = 0..\infty}p_i1^i = \sum_{i = 0..\infty}p_i = 1 = x</tex>.<br>
В поисках другого, меньшего корня, рассмотрим <tex>m = f'(1) = \sum_{i = 1..\infty}ip_i</tex>, другими словами <tex>m = E(</tex>количество потомков вершины'''оформи по-другому, введи переменную, нельзя просто обернуть русский текст в тех'''<tex>)</tex>
Кажется, что при <tex>m > 1</tex> дерево будет расти вечно, так как каждая вершина в момент времени <tex>j</tex> должна иметь потомков, однако при <tex>p_0 > 0</tex> с положительной вероятность у корня может вообще не быть потомков. Вспоминая об исходном <tex>G(n,\frac{d}{n})</tex>б ввиду того, что <tex>d</tex> {{---}} ожидаемое количество потомков, <tex>m</tex> играет роль <tex>d</tex>.<br>
[[Файл:Extinction_probability_equation_root_random_graph.png|thumb|300px|center|Решение уравнения f(x)=x]]
Далее, '''Ещё одно бессмысленное вводное слово, старайся не использовать их там, где не нужно''' пользуясь описанными выше утверждениями, можно доказать, что:<br>
# <tex>m < 1</tex> <tex>||</tex> <tex>m = 1</tex> <tex>\&</tex> <tex>p_1 < 1</tex> {{---}} вероятность исчезновения <tex> = 1</tex>;<br>
# <tex>m = 1</tex> <tex>\&</tex> <tex>p_1 = 1</tex> {{---}} вероятность исчезновения <tex> = 0</tex>;<br>
Используя результаты, полученные в предыдущей части, сделаем вывод о вероятности окончания работы поиска в ширину на случайном графе <tex>G(n, \frac{d}{n})</tex>. Рассчитав <tex>p_0</tex> и <tex>p_1</tex>, можно сделать следующие выводы:<br>
# <tex>d < 1</tex> <tex>||</tex> <tex>d = 1</tex> <tex>\&</tex> <tex>p_1 < 1</tex> {{---}} вероятность завершения<tex> = 1</tex>;<br>
# <tex>d = 1</tex> <tex>\&</tex> <tex>p_1 = 1</tex> {{---}} вероятность завершения'''напиши словами и это и выше и ниже'''<tex> = 0</tex>;<br>
# <tex>d > 1</tex> {{---}} вероятность исчезновения <tex> < 1</tex>, но, если <tex>p_0 = 0</tex>, процесс не завершится, так как у каждой вершины найдется по крайней мере один потомок;<br>
