689
правок
Изменения
м
В этои неравенстве <tex>p</tex> {{---}} произвольное. Тогда так Так как <tex>\varepsilon_n \to 0</tex>, последовательность сходится к в себе, значитто, по полноте<tex> X </tex>, у неё есть предел.
сходится к себе -> сходится в себе, ну и другие опечатки пофиксил заодно.
И так далее. Получаем набор точек <tex>x_1, x_2, \ldots</tex>, <tex>\forall i \ne j: \ \rho(x_i, x_j) > \varepsilon_0</tex>.
Так как <tex>K</tex> {{---}} компакт, то из этой последовательности можно выделить сходящуюся. Но увыпо построению последовательности это невозможно, получили противоречие.
<tex>\Longleftarrow</tex>
Рассмотрим последовательность точек <tex>x_{1, 1}, x_{2, 2}, x_{3, 3}, \ldots</tex>(''диагональ Кантора'')
Очевидно, это подпоследовательность исходной последовательности. Если доказать, что она сходится к в себе, то, так как <tex>X</tex> {{---}} полное, у неё будет предел.
Так как <tex>K</tex> {{---}} замкнутое, то предел этой последовательности принадлежит ей.
Так как <tex>x_{n + p, n + p}</tex> есть в <tex>n</tex>-й строке, то <tex>\rho \leq 2\varepsilon_n</tex>.
}}
