315
правок
Изменения
Нет описания правки
<tex> \vartriangleright </tex> Пусть <tex> \lim \limits_{\mathcal {4} x \to 0} A \left ( \mathcal{4}x \right )=A\left (0 \right )=0</tex><br>
<tex> \left \| A \left ( x + \mathcal{4} x) \right ) - A \left ( x \right ) \right \| = \left \| A \left (x \right)+ A \left ( \mathcal{4}x \right)-A \left (x \right )\right \| = \left \| A \left ( \mathcal{4}x \right )\right \| \xrightarrow {\mathcal{4}x \to 0} 0 </tex><br>
<tex>A \left ( x + \mathcal{4} x) \right )\xrightarrow [\mathcal{4}x \to 0]{} A \left ( x \right ) \vartriangleleft</tex><br>{{Теорема|statement=Л.о. непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен:|proof=1) A — ограничен, значит, <tex> \left \| A \left ( x \right ) \right \| \le m \left \| x \right \|, m \ge 0</tex><tex>\left \| A \left ( \mathcal {4} x \right ) \right \| \le m \left \| \mathcal {4} x \right \|.~ A \left ( \mathcal {4} x \right )\xrightarrow {\mathcal{4}x \to 0} 0 </tex> А непрерывен в 0, следовательно, непрерывен и на X.2) A — непрерывен на X, <tex> 0 = \lim \limits_{x \to 0} A \left ( x \right )</tex><br><tex>\varepsilon = 1: \exists \delta > 0: \left \| x \right \| \le \delta</tex> и, значит, при <tex>\mathcal{4}x \to 0</tex> <tex>\left \| A \left ( x \right ) \right \| \le \varepsilon = 1</tex><br><tex>\forall x \ne 0</tex> рассмотрим <tex>z = \frac{\delta}{2} \frac {x}{\left \| x \right \|}.~ \left \| z \right \| = \frac{\delta}{2} < \delta</tex><br><tex>\left \| A \left ( z \right ) \right \| \le 1.~A \left ( z \right ) = \frac {\delta}{2 \left \| x \right \|} A \left ( x \right )</tex><tex>A \left ( z \right ) = \frac {\delta}{2 \left \| x \right \|} \left \| Ax \right \| \le 1</tex>, таким образом, <tex>Ax \le \frac {2 \left \| x \right \|}{\delta}</tex><br>Очевидно, это верно и для <tex>x=0</tex>.}}
