1679
правок
Изменения
Новая страница: «== Теорема Лебега == {{Теорема |author= Лебег |about= о мажорируемой сходимости |statement= Пусть на E \subset...»
== Теорема Лебега ==
{{Теорема
|author=
Лебег
|about=
о мажорируемой сходимости
|statement=
Пусть на E \subset X задана последовательность измеримых функций f_n, таких, что |f_n(x)| \le \varphi(x) почти всюду, где \varphi — измеримая.
Пусть f_n \Rightarrow(E) f (по мере). Тогда допустим предельный переход под знаком интеграла:
\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int\limits_E f_n = \int\limits_E f
|proof=
Из сходимости по мере по теореме Риса выделим сходящуюся подпоследовательность f_{n_k}.
|f_{n_k}(x)| \le \varphi(x). Устремим k к бесконечности, тогда |f(x)| \le \varphi(x).
\forall \varepsilon > 0, A_\varepsilon — хорошее для \varphi: \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} \varphi d \mu < \varepsilon
\left| \int\limits_E f_n - \int\limits_E f \right| = \int\limits_E |f_n - f| = \int\limits_{{A_\varepsilon}} |f_n - f| + \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} |f_n - f|
\int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} |f_n - f| \le \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} 2 \varphi < 2 \varepsilon (по выбору A_\varepsilon)
A_{\varepsilon} — хорошее, следовательно, \mu A_{\varepsilon} < + \infty, |\varphi(x)| \le M на A_\varepsilon, |f_n| \le \varphi \le M на A_\varepsilon, аналогично, f.
Тем самым, \int\limits_{{A_\varepsilon}} |f_n - f| удовлетворяет теореме Лебега о предельном переходе под знаком опредленного интеграла, следовательно, \int\limits_{{A_\varepsilon}} \rightarrow (n \to \infty) 0. Тогда и \int\limits_E |f_n - f| \rightarrow (n \to \infty) 0, что и требовалось доказать.
}}
Примечание: Так как на множестве конечной меры их сходимости почти всюду вытекает сходимость по мере, то теорему Лебега можно было формулировать для сходимости почти всюду.
\forall \varepsilon > 0
\int\limits_E
\int\limits_E
\int\limits_E
\int\limits_E
\int\limits_E
\int\limits_E
\int\limits_E
{{Теорема
|author=
Лебег
|about=
о мажорируемой сходимости
|statement=
Пусть на E \subset X задана последовательность измеримых функций f_n, таких, что |f_n(x)| \le \varphi(x) почти всюду, где \varphi — измеримая.
Пусть f_n \Rightarrow(E) f (по мере). Тогда допустим предельный переход под знаком интеграла:
\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int\limits_E f_n = \int\limits_E f
|proof=
Из сходимости по мере по теореме Риса выделим сходящуюся подпоследовательность f_{n_k}.
|f_{n_k}(x)| \le \varphi(x). Устремим k к бесконечности, тогда |f(x)| \le \varphi(x).
\forall \varepsilon > 0, A_\varepsilon — хорошее для \varphi: \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} \varphi d \mu < \varepsilon
\left| \int\limits_E f_n - \int\limits_E f \right| = \int\limits_E |f_n - f| = \int\limits_{{A_\varepsilon}} |f_n - f| + \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} |f_n - f|
\int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} |f_n - f| \le \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} 2 \varphi < 2 \varepsilon (по выбору A_\varepsilon)
A_{\varepsilon} — хорошее, следовательно, \mu A_{\varepsilon} < + \infty, |\varphi(x)| \le M на A_\varepsilon, |f_n| \le \varphi \le M на A_\varepsilon, аналогично, f.
Тем самым, \int\limits_{{A_\varepsilon}} |f_n - f| удовлетворяет теореме Лебега о предельном переходе под знаком опредленного интеграла, следовательно, \int\limits_{{A_\varepsilon}} \rightarrow (n \to \infty) 0. Тогда и \int\limits_E |f_n - f| \rightarrow (n \to \infty) 0, что и требовалось доказать.
}}
Примечание: Так как на множестве конечной меры их сходимости почти всюду вытекает сходимость по мере, то теорему Лебега можно было формулировать для сходимости почти всюду.
\forall \varepsilon > 0
\int\limits_E
\int\limits_E
\int\limits_E
\int\limits_E
\int\limits_E
\int\limits_E
\int\limits_E
