165
правок
Изменения
→Доказательство теоремы
===Доказательство теоремы===
Возьмём <tex>\forall x \in X</tex> и рассмотрим последовательность <tex>x_1=Tx,x_2=Tx_1,\dots,x_{n+1}=Tx_n</tex>. Получаем <tex>\{x_n\}</tex>. Покажем, что эта последовательность [[фундаментальная последовательность|фундаментальная]]. В самом деле:
:<tex>d(x_1,x_2)=d(Tx,Tx_1)\leqslant\alpha d(x,x_1)=\alpha d(x,Tx),</tex>
:<tex>d(x_2,x_3)=d(Tx_1,Tx_2)\leqslant\alpha d(x_1,x_2)={\alpha}^{2} d(x,Tx),</tex>
:<tex>\dots,</tex>
:<tex>d(x_n,x_{n+1})=d(Tx_{n-1},Tx_n)\leqslant\alpha d(x_{n-1},x_n)={\alpha}^{n} d(x,Tx)</tex>.
Таким образом, по неравенству треугольника для
:<tex>\forall n,p \in \mathbb{N} \quad d(x_n,x_{n+p}) \leqslant d(x_n,x_{n+1})+d(x_{n+1},x_{n+p}) \leqslant d(x_{n},x_{n+1})+d(x_{n+1},x_{n+2})+d(x_{n+2},x_{n+p})
\leqslant \dots</tex>
:<tex>\dots \leqslant d(x_{n},x_{n+1})+d(x_{n+1},x_{n+2})+ \dots + d(x_{n+p-1},x_{n+p})\leqslant</tex>
:<tex>\leqslant {\alpha}^{n}d(x,Tx) + {\alpha}^{n+1}d(x,Tx) + \dots + {\alpha}^{n+p-1}d(x,Tx)
= ({\alpha}^{n}+{\alpha}^{n+1}+\dots+{\alpha}^{n+p-1})d(x,Tx)
\leqslant\frac{{\alpha}^{n}}{1-\alpha}d(x,Tx) </tex>.
Но <tex>\frac{{\alpha}^{n}}{1-\alpha} \to 0 </tex> при <tex>n \to \infty</tex>, значит для <tex>\varepsilon > 0 \quad\exists N\colon\forall n \geqslant N \to \frac{{\alpha}^{n}}{1-\alpha} < \frac{\varepsilon}{d(x,Tx)+1} </tex>.
Таким образом, для <tex>\varepsilon > 0 \quad \exists N\colon\forall n > N, \forall p \in\mathbb{N}\colon d(x_n,x_{n+p})
\leqslant \frac{{\alpha}^{n}}{1-\alpha}d(x,Tx) < \frac{\varepsilon}{d(x,Tx)+1}d(x,Tx) < \varepsilon </tex>.
Значит <tex>\{x_n\}</tex> фундаментальна. Но т.к. <tex>X</tex> полно, то <tex>\exists x^* \in X\colon\lim_{n \to \infty}x_n = x^*</tex>. Тогда берём <tex>x_{n+1}=Tx_n</tex> и переходим к пределу, т.к. сжимающий оператор — непрерывная функция. Существование доказано.
Докажем единственность. Предположим обратное, т.е. пусть <tex>\exists y^* \in X\colon y^*=Ty^* \Rightarrow d(x^*,y^*) = </tex> (т.к. <tex>x^*</tex> и <tex>y^*</tex> - неподвижные точки) <tex>d(Tx^*,Ty^*) \leqslant\alpha d(x^*,y^*) \Rightarrow d(x^*,y^*) \leqslant \alpha d(x^*,y^*)
\Rightarrow (1-\alpha)d(x^*,y^*) \leqslant 0 \Rightarrow d(x^*,y^*) \leqslant 0 \Rightarrow x^*=y^*</tex>.
Теорема доказана.
