Эргодические цепи могут быть [[Регулярная марковская цепь|регулярными]] или '''циклическими'''. Циклические цепи отличаются от регулярных тем, что в процессе переходов через определенное количество шагов (цикл) происходит возврат в какое-либо состояние. Регулярные цепи этим свойством не обладают.
называется эргодической, если существует дискретное распределение (называемое эргодическим) <tex>\pi = (\pi_1,\pi_2,\ldots )^{\top}</tex>, такое что <tex>\pi_i > 0,\; i \in \mathbb{N}</tex> и
:<tex>\lim\limits_{n \to \infty} p_{ij}^{(n)} = \pi_j, ~ \forall i \in \mathbb{N}</tex> (вероятность оказаться в <tex>j</tex>-ом состоянии, выйдя из <tex>i</tex>-ого, через <tex>n</tex> переходов).
==Стационарный режим==
<tex>\pi_{i} = \sum\limits_{j=1}^{n}(\pi_{j} \times p_{ji})</tex>, где <tex>i = 1,2,...,n</tex>
Можно заметить, что так как все свободные члены равны нулю, система имеет бесконечное число решений. Однако, у нас есть дополнительные условия на решение: <tex>\sum\limits_{j=1}^{n}\pi_{i} = 1</tex> и <tex> \pi_i > \ge 0 </tex>. Следующая теорема утверждает единственность решения такой системы.
==Основная теорема об эргодических распределениях==
|about=Основная теорема об эргодических распределениях
|statement=
Пусть <tex>\{X_n\}_{n \ge 0}</tex> - цепь Маркова с дискретным пространством состояний и [[Марковская цепь|матрицей переходных вероятностей]] <tex>P = (p_{ij}),\; i,j=1,2,\ldots</tex>. Тогда эта цепь является Для эргодической тогда и только тогда, когда она# Неразложима (т.е. цепь Маркова такова, что её состояния образуют лишь один неразложимый класс <ref> Пусть <tex>\{X_n\}_{n \ge 0}</tex> — цепь Маркова с тремя состояниями <tex>\{1,2,3\}</tex>, и её матрица переходных вероятностей имеет вид: <tex>P = \left(\begin{matrix}0.5 & 0.5 & 0 \\0.1 & 0.9 & 0 \\0 & 0 & 1\end{matrix}\right).</tex>Состояния этой марковской цепи образуют два '''неразложимых класса''': <tex>\{1,2\}</tex> и <tex>\{3\}</tex> <tex>(1 \leftrightarrow 2</tex>, но <tex>1 \not\rightarrow 3</tex> и <tex>3 \not\rightarrow 1)</tex>. Т.е. если представить матрицу переходных вероятностей в виде графа, то он будет иметь две компоненты связности. </ref>);# Положительно возвратна (т.е. находится в таком состоянии, выйдя из которого возвращается в него за конечное время);# Апериодична (т.е. находится в таком состоянии, которое навещается цепью через промежутки времени, не кратные фиксированному числу).Эргодическое эргодическое распределение <tex>\mathbf{\pi}</tex> тогда является единственным решением системы: :<tex>\sum\limits_{i=0}^{\infty} \pi_i = 1,\; \pi_j \ge 0,\; \pi_j = \sum\limits_{i=0}^{\infty} \pi_i\, p_{ij},\quad \, j\in \mathbb{N}</tex>.}}
Рассмотрим матрицу, следующего вида: <tex>p_{ij}=0.5, i,j=1,2</tex>. Такая матрица является стохастической, а, значит, корректно определяет марковскую цепь. Такая цепь является эргодической, так как существует эргодическое распределение <tex>\pi = (0.5,0.5)^{\top}</tex>, такое что <tex>\lim\limits_{n \to \infty} p_{ij}^{(n)} = \pi_j, i=1,2</tex>.
==Примечания==
<references />
==Ссылки==
