Изменения
Нет описания правки
{{В разработке}}
Пусть имеется множество <mathtex>X</mathtex>.
{{Определение
|definition=
<mathtex>G</mathtex> действует на <mathtex>X</mathtex>, если# <mathtex> \forall g \in G , x \in X \quad gx \in X </mathtex># <mathtex> \forall g_1, g_2 \in G , x \in X \quad (g_1 g_2)x = g_1(g_2 x) </mathtex># <mathtex> \forall x \in X \quad ex = x </mathtex>
}}
{{Определение
|definition=
'''Орбита''' <mathtex>Orb(x)=\{gx \mid g \in G\}</mathtex>
}}
{{Определение
|definition=
'''Стабилизатор''' <mathtex>St(x)=\{g \in G \mid gx = x\}</mathtex>
}}
{{Определение
|definition=
'''Фиксатор''' <mathtex>Fix(g)=\{x \in X \mid gx = x\}</mathtex>
}}
{{Утверждение
|id=th1
Стабилизатор замкнут относительно операции в группе (умножения)
|proof=
<mathtex> \forall g_1, g_2 \in G g_1, g_2 \in St(x) \Rightarrow g_1 x = x \And g_2 x = x \Rightarrow (g_1 g_2) x = g_1 (g_2 x) = g_1 x = x </mathtex>
}}
{{Утверждение
|id=th2
|statement=
<mathtex> Orb(x) \cap Orb(y) \neq \varnothing \Rightarrow Orb(x) = Orb(y) </mathtex>
|proof=
<math> Orb(x) \cap Orb(y) \neq \varnothing \Rightarrow \exist g_1, g_2 \in G : g_1 x = g_2 y \Rightarrow x = g_1 ^ {-1} g_2 y \Rightarrow x \in Orb(y) \Rightarrow Orb(x) \subseteq Orb(y) </math>. <br>
Аналогично доказываем, что <mathtex>Orb(y) \subseteq Orb(x)</mathtex>, откуда следует, что <mathtex>Orb(x) = Orb(y)</mathtex>
}}
Видно, что бинарное отношение <mathtex>x \mathcal R y \Leftrightarrow Orb(x) = Orb(y)</mathtex> является отношением эквивалентности на <mathtex>X</mathtex> и разбивает его на независимые классы эквивалентности − орбиты. Можно поставить задачу о нахождении количества орбит, которая решается с помощью [[Лемма Бернсайда, задача о числе ожерелий|леммы Бернсайда]].
[[Категория: Теория групп]]
