Действие группы на множестве

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск

Пусть имеется множество X.

Определение:
Группа G действует на X, если любых g \in G и x \in X определено действие элемента g на элемент x (обозначаемое gx), обладающее следующими свойствами:
  1. gx \in X,
  2. Для любых g_1, g_2 \in G, x \in X выполнено (g_1 g_2)x = g_1(g_2 x),
  3. Для любого x \in X выполнено e x = x.


[править] Примеры

  • Действие группы на себя. Пусть G — группа с операцией \cdot и множество X = G. Зададим отображение F: G\times X\to X, такое что f(g,x) = g \cdot x. Тогда все свойства из определения выполнятся вследствие соответствующих свойств группы. Таким образом группа G действует на X. Такое действие называется "действие левыми сдвигами".
  • Действие сопряжением. Пусть G — группа с операцией \cdot и множество X = G. Зададим отображение F: G\times X\to X, такое что f(g,x) = g \cdot x \cdot g^{-1}. Все свойства из определения выполнены, следовательно группа G действует на X.

[править] Орбита, Стабилизатор и Фиксатор

Определение:
Орбита Orb(x) элемента x \in X — это множество \{gx \mid g \in G\}.


Определение:
Стабилизатор St(x) элемента x \in X — это множество \{g \in G \mid gx = x\}.


Определение:
Фиксатор Fix(g) элемента g \in G — это множество \{x \in X \mid gx = x\}.


[править] Свойства

Утверждение:
Стабилизатор любого элемента x \in X является подгруппой G.
\triangleright

Пусть g_1, g_2 \in St(x). Тогда g_1 x = x и g_2 x = x. Поэтому, (g_1 g_2) x = g_1 (g_2 x) = g_1 x = x. Следовательно, g_1 g_2 \in St(x).

Пусть g \in St(x). Тогда g x = x, следовательно, g^{-1} g x = g^{-1} x. Поэтому, g^{-1} x = x и g^{-1} \in St(x).
\triangleleft
Утверждение:
Orb(x) \cap Orb(y) \neq \varnothing \Rightarrow Orb(x) = Orb(y)
\triangleright

Orb(x) \cap Orb(y) \neq \varnothing \Rightarrow \exists g_1, g_2 \in G  : g_1 x = g_2 y \Rightarrow x = g_1 ^ {-1} g_2 y \Rightarrow x \in Orb(y) \Rightarrow Orb(x) \subseteq Orb(y).

Аналогично доказываем, что Orb(y) \subseteq Orb(x), откуда следует, что Orb(x) = Orb(y)
\triangleleft

Видно, что бинарное отношение x \mathcal R y \Leftrightarrow Orb(x) = Orb(y) является отношением эквивалентности на X и разбивает его на независимые классы эквивалентности − орбиты. Можно поставить задачу о нахождении количества орбит, которая решается с помощью леммы Бернсайда.

Личные инструменты
Пространства имён
Варианты
Действия
Навигация
Инструменты