1679
правок
Изменения
Нет описания правки
|proof=
Так как $f$ непрерывна на отрезке, то она равномерно непрерывна, то есть $\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0: |x' - x''| < \delta \Rightarrow |f(x') - f(x'')| < \varepsilon$. Если $\operatorname{rang} \tau < \delta, M_k - m_k \le \varepsilon$
$ \sigma omega (f, g, \tau) \le \left| \sum\limits_{i=0}^{n-1} (M_k - m_k) \Delta g_k \right| \le \sum\limits_{k=0}^{n-1} \varepsilon | \Delta g_k | = \varepsilon \bigvee\limits_a^b (g, \tau) \xrightarrow[\varepsilon \to 0]{} 0$.
}}
$a_n(f) = \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx = \\
\frac{1}{\pi n} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) d sin(nx) = \frac{1}{\pi n} \left( f(x) \sin(x) \bigl |^{\pi}_{-\pi} - \int\limits_{-\pi}^{\pi} sin(nx) df \right) $
Первое слагаемое после подстановки обнуляется, второе слагаемое оценим сверху как $\bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$. Итак, получили: $|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(а)$. Аналогичный результат можно получить для $b_n$.
</wikitex>
