403
правки
Изменения
Нет описания правки
Докажем, что <tex> F(x) \in \bigvee </tex>:
Нужно доказать <tex>2\pi</tex>-периодичность <tex>F</tex> и ограниченность её вариации.
{{Утверждение
|statement=Ограниченность вариации
|proof=
<tex>|F(x_{k+1}) - F(x_k)| \stackrel{x_k < x_{k+1}}{\le} \int\limits_{x_k}^{x_{k+1}} \left|f(t) - \frac{a_0}2\right| dt</tex>
Так как это выполняется для любого разбиения, <tex>\bigvee\limits_{-\pi}^\pi(F) \le \int\limits_Q \left|f(t) - \frac{a_0}2 \right| < +\infty</tex>. Итак, <tex>F</tex> имеет ограниченную вариацию на <tex>Q</tex>.
}}
{{Утверждение|statement=<tex>F</tex> {{---}} <tex>2) '''Периодичность'''\pi</tex>-периодичная функция.|proof=
<tex>F(x + 2\pi) = \int\limits_0^{x+2\pi} = \int\limits_0^x + \int\limits_x^{x+2\pi}</tex>
<tex>\int\limits_0^x = F(x) \Rightarrow F(x + 2\pi) = F(x)</tex>
}}
}}
Итак, <tex>F \in \bigvee</tex>. Значит,по [[теорема Жордана|теореме Жордана]], в каждой точке ряд Фурье этой функции сходится,
