1679
правок
Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|id=def1defms
|definition=
Для некоторого множества <tex>X</tex>, отображение <tex> \rho : X \times X \rightarrow \mathbb{R^+} </tex> {{---}} называется '''метрикой''' на <tex>X</tex>, если выполняются аксиомы
Некоторые примеры метрических пространств:
* <tex>X = \mathbb{R}, \rho(x, y) = | x - y |</tex>
* <tex>X = \mathbb{R}^n, \rho(\overline x, \overline y) = \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}</tex>
** третья аксиома: рассмотрим <tex>f(t) = {t \over 1 + t}</tex>. Так как <tex>f</tex> выпукла вверх, <tex>f(t_1 + t_2) \le f(t_1) + f(t_2)</tex>, то есть все три аксиомы выполняются. TODO: ШТО? Почему?(
*: Сходимость в этой метрике эквивалентна покоординатной (TODO: почему?).
* В любом пространстве <tex>X</tex> можно ввести дискретную метрику: <tex>\rho(x, y) = \begin{cases} 0; & x = y \\ 1; & x \ne y \end{cases}</tex>. Заметим, что в дискретной метрике сходятся только стационарные последовательности.
* <tex>X = \mathbb{R}^{\mathbb{I}}</tex>, то есть множество всех функций из <tex>[0; 1]</tex> в <tex>\mathbb{R}</tex>. Это пространство не метризуется, то есть не существует метрики, в которой сходимость эквивалентна поточечной (TODO: почему??)
Центральную роль в изучении МП играют шары:
{{Определение
|id=defob
|definition=
'''Открытым шаром''' в МП <tex>(X, \rho)</tex> с радиусом <tex>r</tex> и центром в <tex>a</tex> называют множество <tex>V_r(a) = \{ x \mid \rho(x, a) < r \} </tex>. В определении '''замкнутого шара''' знак <tex><</tex> заменяется на <tex>\le</tex>.
}}
На базе этих множеств можно МП превратить в ТП.
{{Определение
|id=defts
|definition=
Для некоторого множества <tex>X</tex>, класс множеств <tex>\tau</tex> называется '''топологией''', если:
# <tex> X, \empty \in \tau</tex>
# Любое объединение (возможно, несчетное) <tex>\bigcup\limits_{\alpha} G_{\alpha}</tex> из <tex>\tau</tex> принадлежит <tex>\tau</tex>
# Любое конечное пересечение <tex>\bigcap\limits_{i=1}^{n} G_i</tex> из <tex>\tau</tex> принадлежит <tex>\tau</tex>
Пару <tex>(X, \tau)</tex> называют '''топологическим пространством'''. Множества, принадлежащие <tex>\tau</tex> называются '''открытыми'''. (по Хаусдорфу ???). '''Замкнутыми''' называются множества-дополнения к множествам из <tex>\tau</tex>.
}}
{{Определение
|id=defint
|definition=
Рассмотрим множество <tex>A \subset X</tex>.
'''Внутренностью''' множества <tex>A</tex> называется множество <tex>\mathrm{Int} A = \bigcup\limits_{G \subset A} G</tex>, где <tex> G </tex> — открытые множества.
'''Внутренностью''' множества <tex>A</tex> называется множество <tex>\mathrm{Cl} A = \bigcap\limits_{A \subset F } F</tex>, где <tex> F </tex> — замкнутые множества.
'''Границей'''??? множества <tex>A</tex> называется множество <tex>\mathrm{Fr} A = \mathrm{Cl} A \setminus \mathrm{Int} A</tex>.
}}
