Изменения

'''Скалярным произведением''' в действительном линейном пространстве <tex>X</tex> называется функция <tex>\langle \cdot, \cdot \rangle : X \times X \to \mathbb{R}</tex>, удовлетворяющяя удовлетворяющая следующим аксиомам:# <tex>\langle x, x \rangle \ge 0</tex> и <tex>\langle x, x \rangle = 0 \Leftrightarrow iff x = 0</tex>

УП — частный случай [[Нормированные пространства | нормированных пространств]]: можно ввести норму как <tex>\| x \| = \sqrt{\langle x, x \rangle}</tex>, неравенство Шварца используется для доказательства того, что третья аксиома нормы выполняется.

Пусть <tex> H_1 </tex> — подпространство в <tex>H</tex>, <tex> H_2 </tex> — {{---}} его ортогональное дополнение. Тогда для любого <tex> x \in H </tex> существует единственное представление <tex> x = x_1 + x_2 </tex>, где <tex> x_1 \in H_1, x_2 \in H_2 </tex> и <tex> x_1 \perp x_2 </tex>.

Доказывалось ранееДоказательство из [http://www.apmath.spbu.ru/ru/education/final/question07.pdf] Положим <tex>d = \rho(x, H_1)</tex>, <tex>d_n=d+\frac1n</tex> и для каждого <tex>n\in\mathbb{N}</tex> найдём <tex>x_n \in H_1</tex> такой, что <tex>\|x-x_n\|<d_n</tex>.  По равенству параллелограмма, <tex>\|2x-(x_n+x_m)\|^2+\|x_m-x_n\|^2 = 2(\|x-x_n\|^2+\|x_m-x\|^2)</tex>. Так как <tex>\frac{x_n+x_m}{2}\in H_1</tex>, то <tex>\|x-\frac{x_n+x_m}2\|\ge d</tex> или <tex>\|2x-(x_n+x_m)\|^2\ge 4d^2</tex>. Тогда получаем, что <tex>\|x_m-x_n\|^2\le2(d_n^2+d_m^2)-4d^2</tex>. Но <tex>d_n, d_m \to d</tex>, и потому <tex>\|x_m-x_n\|_{n,m\to\infty}\to0</tex>, то есть, последовательность <tex>\{x_n\}</tex> {{---}} фундаментальная. Вследствие полноты <tex>H</tex>, существует <tex>x'=\lim x_n</tex>, а так как множество <tex>H_1</tex> замкнуто (по определению подпространства), то <tex>x'\in H_1</tex>. При этом <tex>\|x-x'\|=\lim \|x-x_n\|</tex> и из <tex>\|x-x_n\|\le d_n</tex> следует, что <tex>\|x-x'\|\le d</tex>. Но так как знак «меньше» невозможен, то <tex>\|x-x'\|=d</tex>.  Теперь положим <tex>x''=x-x'</tex> и покажем, что <tex>x''\in H_2</tex>, то есть, <tex>x'' \perp H_1</tex>. Возьмём <tex>y\in H_1\setminus \{TODO0\}</tex>. При любом <tex>\lambda</tex> имеем <tex>x'+\lambda y \in H_1</tex>, так что <tex>\|x''-\lambda y\|t^2=Где именно? Было ли вообще это утверждение доказано \|x-(x'+\lambda y)\|^2 \ge d^2</tex>, что можно, воспользовавшись <tex>\|x-x'\|=d</tex>, переписать в курсе матана?форме: <tex>-\lambda \langle x'',y\rangle-\lambda\langle y,x''\rangle +|\lambda|^2\langle y,y\rangle \ge 0</tex>. В частности, при <tex>\lambda=\frac{\langle x'',y\rangle }{\langle y,y\rangle }</tex> получаем отсюда: <tex>-\frac{|\langle x'',y\rangle |^2}{\langle y,y\rangle }-\frac{|\langle x'',y\rangle|^2}{\langle y,y \rangle}+\frac{|\langle x'',y \rangle|^2}{\langle y,y \rangle}\ge 0</tex>, то есть, <tex>|\langle x'',y \rangle|^2 \le 0</tex>, что может быть только лишь в случае <tex>\langle x'',y \rangle=0</tex>. Итак, возможность представления <tex>x</tex> в форме <tex>x=x'+x''</tex> и соотношение <tex>\|x-x'\|=\rho(x, H_1)</tex> установлены. Докажем единственность такого представления. В самом деле, если <tex>x=x_1'+x_1''</tex> (<tex>x_1'\in H_1</tex>,<tex>x_1''\in H_2</tex>), то сопоставив это с <tex>x=x'+x''</tex>, получим <tex> x'-x_1'=x_1''-x''</tex>. Поскольку <tex>x'-x_1' \in H_1</tex>, <tex>x_1''-x''\in H_2</tex>, то <tex>x'-x_1' \perp x_1''-x''</tex>, откуда получаем <tex>x'-x_1' = x_1''-x'' = 0</tex>.

Пусть <tex>X</tex> — НП, а <tex>Y</tex> {{- --}} собственное (то есть не совпадающее с <tex>X</tex>) подпространство <tex>X</tex>, тогда <tex>\forall \varepsilon \in (0, 1) \; \exists z_{\varepsilon} \in X : \|z_{\varepsilon}\| = 1,\; \rho(z_{\varepsilon}, Y) \geq 1 - \varepsilon</tex> (где <tex>\rho(z, Y) = \inf\limits_{y \in Y} \|z-y\|</tex>)

<tex>\forall y \in Y: \| z_{\varepsilon} - y \| = \left\| {x_0 - y_{\varepsilon} \over \| x_0 - y_{\varepsilon} \|} - y \right\| = {\| x_0 - y_{\varepsilon} - y \| x_0 - y_{\varepsilon} \| \| \over \| x_0 - y_{\varepsilon} \| }</tex>. <tex>y_{\varepsilon} - + y \| x_0 - y_{\varepsilon}\|</tex> по линейности <tex>Y</tex> лежит в <tex>Y</tex> так как оно замкнуто, тогда числитель будет больше <tex>d</tex>, а знаменатель — меньше <tex>{1 \over 1 - \varepsilon} d</tex>, то есть дробь будет больше <tex>1 - \varepsilon</tex>.

Продолжаем так же для <tex>Y_3 \dots Y_n \dots</tex>. Процесс никогда не завершится, так как <tex>X</tex> — бесконечномерное и не может быть линейной оболочкой конечного числа векторов. Таким образом построили бесконечную систему точек в <tex>S_1</tex>, но из которой нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность, так как <tex>\| x_n - x_m \| \ge {1 \over 2}</tex>, следовательно, <tex>S_1</tex> не компактно.

{{Теорема: |statement=<tex>\forall x \in H: \rho(inf\limits_{h \in H_n} \|x, H_n) - h \| = \| x - \sum\limits_{i=1}^n \langle x, e_i \rangle e_i \| </tex>. {{TODO|tproof= найти доказательство, гдеДоказательство есть здесь: [[L_2-то было онотеория рядов Фурье]].}}

<tex> \sum \limits_{k=1}^{\infty} ( \langle x, e_k)\rangle^2 \le \|x\|^2</tex>

<tex> = \|x\|^2 + \sum \limits_{k=1}^n (\beta_k^2 - 2(x, e_k)\beta_k) = \|x\|^2 + \sum \limits_{k=1}^n (\beta_k - (x, e_k))^2 - \sum \limits_{k=1}^n( \langle x, e_k)\rangle ^2 </tex>.Теперь, пусть <tex> \beta_k = (x, l_ke_k) </tex>, имеем <tex> 0 \le \|x\|^2 - \sum \limits_{k=1}^n (x, e_k)^2 </tex>, устремив <tex> n </tex> к бесконечности, получим требуемое.

TODO равенство Парсеваля вроде?

В неравенстве Бесселя для любого <tex>\forall x: \|x\|^2 = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \langle x, e_k \rangle ^2 </tex> будет равенство тогда и только тогда, когда ортонормированная система точек, по которым строятся коэффициенты Фурье, полная или замкнутая. {{TODO|t= пшшш, что-то неразборчивое}}

???Это доказательство (правда, по кускам) тоже есть здесь: [[L_2-теория рядов Фурье]]. 

Пусть <tex>\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}</tex> - ортонормированная система в гильбертовом пространстве <tex>H</tex>, <tex>\sum\limits_{i=1}^{\infty} \alpha_i^2 \leq < +\infty</tex>. Тогда <tex>\exists ! x \in H : \alpha_i = \langle x, e_i \rangle</tex> и выполняется '''равенство Парсеваля''': <tex>\sum \alpha_i^2(x) = \|x\|^2</tex>

{{TODOИ это доказательство тоже здесь есть: [[L 2-теория рядов Фурье#Теорема Рисса-Фишера|t=почему-то в конспекте только формулировка, докТеорема Рисса-ва нет}}Фишера]].

Можно задаться вопросом: какое топологическое свойство характеризует существование ортонормированного базиса? {{TODOТеорема|tstatement= далее идет чтоПусть <tex>H</tex> {{---то бредовое}}сепарабельное. Тогда в <tex> H </tex> существует ортнормированный базис.|proof=<tex>\exists A = \{ a_1 \dots a_n \dots \}, \mathrm{Cl} A = H</tex> — счетное всюду плотное.

Вопрос: какое топологическое свойство характеризует существование базиса: замкнутость ОНС? Достаточно требовать, чтобы <tex>H</tex> было сепарабельным: <tex>\exists A = mathrm{Cl}\mathcal{ L}(a_1 \dots a_n \dots \}, \mathrm{Cl} A ) = H</tex> — счетное всюду плотное, следовательно, надо превратить в ОНС, чтобы линейная оболочка совпала.

<tex>\mathrm{Cl}\mathcal{L}(a_1 \dots a_n \dots) = H</tex>, следовательно, надо превратить в ОНС, чтобы линейная оболочка совпала. ОНС строится процедурой Грама-Шмидта.}}