689
правок
Изменения
м
Пусть <tex>f(x) = \rho(x, A)</tex>. Сначала убедимся в том, что <tex>f(x)</tex> равномерно непрерывна:
Начиная с Для всех <tex>n</tex>, больших некоторого <tex>N</tex>, <tex>\rho(b, a_n) < r</tex>, и <tex>a_n \in V_r(b)</tex>, <tex>A \cap V_r(b)</tex> непусто.
Нет описания правки
|id=defnbh
|definition=
Множество <tex>U</tex> называет называется '''окрестностью''' в ТП, если существует открытое <tex>G</tex>: <tex>x \in G \subset U</tex>.
}}
{{Утверждение
|id=propclcontrho
|statement=
Функция <tex>\mathrm{Cl} A = \{ x \mid \rhof(x, A) = 0 \}</tex>, где <tex>\rho(x, A) = \inf\limits_{a \in A} \rho(x, a)</tex>равномерно непрерывна.
|proof=
<tex>\forall a \in A, x_1, x_2 \in X: \rho(x_1, a) \le \rho(x_1, x_2) + \rho(x_2, a)</tex>
Аналогично, <tex>\rho(x_2, A) < \rho(x_1, x_2) + \rho(x_1, A) + \varepsilon</tex>.
Отсюда, <tex>|\rho(x_1, A) - \rho(x_2, A)| < \rho(x_1, x_2) + \varepsilon</tex>, устремляя <tex>\varepsilon</tex> к нулю, получаем равномерную непрерывность <tex>f</tex>по определению. }}
{{Утверждение
|id=propcl
|statement=
<tex>\mathrm{Cl} A = \{ x \mid \rho(x, A) = 0 \}</tex>, где <tex>\rho(x, A) = \inf\limits_{a \in A} \rho(x, a)</tex>.
|proof=
Обозначим <tex>B = \{ x \mid \rho(x, A) = 0 \}</tex>. Понятно, что если некоторая последовательность <tex>x_n \in B</tex> сходится к <tex>x</tex>, то <tex>\rho(x_n, A) = 0</tex>, и <tex>\rho(x, A) = 0</tex>, то есть, по определению <tex>B</tex>, <tex>x \in B</tex>. Значит, <tex>B = \mathrm{Cl} B</tex>, <tex>B</tex> замкнуто.
Теперь покажем, что для произвольного замкнутого <tex>F, A \subset F</tex>, выполняется <tex>B \subset F</tex>.
Допустим, это неверно, и <tex>\exists b \in B: b \notin F</tex>, тогда <tex>x b \in X \setminus F = G = \bigcup\limits_{\alpha} V_{r_\alpha}(x_\alpha)</tex>.
Значит, <tex> x b \in V_r(b) \subset X \setminus F</tex>.
<tex>b \in B, \rho(b, A) = 0</tex>, следовательно, есть последовательность <tex>a_n \in A: \rho(b, a_n) \to 0</tex>.
Но <tex>A \subset F \Rightarrow A \cap G = \varnothing</tex> {{---}} противоречие, <tex>B \subset F</tex>.
}}
Замечание: заметим, что в общем случае в топологических пространствах замыкания не определяются через предел последовательности, в этом смысле метрические пространства удобны.
Метрические пространства удовлетворяют [http://en.wikipedia.org/wiki/Separation_axiom#Main_definitions аксиоме нормальности]:
|id=defbaire
|definition=
Подмножество <tex>A</tex> топологического пространства <tex>X</tex> имеет '''I категорию по Бэру в пространстве <tex>X</tex>''' , если оно является не более чем счетным объединением нигде не плотных в <tex>X</tex> множеств. В противном случае оно имеет '''II категорию по Бэру'''.
}}
Полное МП без изолированных точек несчетно.
|proof=
Пусть <tex>(X, \rho)</tex> — МП без изолированных точек (то есть в любой окрестности любой точки найдутся точки, отличные от нее). Пусть <tex>X</tex> — счетно, то есть , можно занумеровать его элементы как <tex>\{ x_1 \dots x_n \dots \}</tex> и представить <tex>X</tex> как <tex>\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \{ x_n \}</tex>. Но одноточечные множества нигде не плотны в <tex>X</tex>: рассмотрим шар <tex> V_r(p) </tex>, если <tex> p = x_n </tex>, то внутри шара есть шар с центром не в <tex> x_n </tex> меньшего радиуса, так как <tex> x_n </tex> не является изолированной точкой; для остальных шаров можно взять шар радиуса, меньшего, тогда оно чем <tex> \rho(x, p) </tex> с центром также в <tex> p </tex>. Тогда <tex> X </tex> является множеством I категории, что противоречит теореме Бэра. Следовательно, <tex>X</tex> должно быть несчетно.
}}
|id=defmstb
|definition=
<tex>A \subset X</tex> называют '''вполне ограниченным''', если для него при любом <tex>\varepsilon</tex> существует конечная <tex>\varepsilon</tex>-сеть, то есть <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists x_1, x_2 \dots x_n: A \subset \bigcup\limits_{i=1}^n V_{\varepsilon}(x_i)</tex>.
}}
Пример: <tex>R^{\infty}</tex> — полное.
|proof=
{{TODO|t=Это было упражнение. Solved by Решил: --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 07:22, 7 января 2013 (GST). Проверьте и удалите эту плашку, если все хорошо.}}
Нужно установить равносильность сходимости <tex> \overline x^{(n)} \in R^{\infty} </tex> и ее сходимости в себе.
<tex>\Pi = [a_1, b_1] \times \dots \times [a_n, b_n] \dots</tex> — компакт в <tex>R^{\infty}</tex>.
|proof=
<tex>\rho(\overline x, \overline y) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} {|x_n - y_n| \over 1 + |x_n - y_n|}</tex>, где <tex>{|x_n - y_n| \over 1 + |x_n - y_n|} \le 1</tex>, также <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists n_0: \sum\limits_{n = n_0 + 1}^{\infty} {1 \over 2^n} < \varepsilon</tex>. Таким образом, для каждого <tex>\varepsilon</tex> можно выбрать номер координаты <tex>n_0</tex>, такой , что все координаты с большими <tex>n_0</tex> номерами суммарно влияют на метрику не больше, чем на <tex>\varepsilon</tex>.
Расмотрим <tex>\Pi_{n_0} = [a_1, b_1] \times \dots \times [a_n, b_n] \subset R^{n_0}</tex> — для него можно составить конечную <tex>\varepsilon</tex>-сеть <tex>A</tex> (понятно , что по каждой координате это сделать легко, а дальше возьмем декартово произведение). Сделаем сеть <tex>A'</tex> для <tex>\Pi</tex> следующим образом: к каждой <tex>n_0</tex>-мерной точке из <tex>A</tex> допишем произвольные координаты <tex>x_{n_0 + 1}, x_{n_0 + 2} \dots</tex>.
* По выбору <tex>\varepsilon</tex>: <tex>\forall x' \in \Pi\ \exists x \in \Pi_{n_0}: \rho (x', x) < \varepsilon</tex>.
* По определению <tex>\varepsilon</tex>-сети для <tex>A</tex>: <tex>\forall \varepsilon > 0\ \forall x \in \Pi_{n_0} \exists a \in A: \rho(x, a) < \varepsilon</tex>.
