403
правки
Изменения
добавлено доказательство x=x_1+x_2
Пусть <tex> H_1 </tex> — подпространство в <tex>H</tex>, <tex> H_2 </tex> {{---}} его ортогональное дополнение. Тогда для любого <tex> x \in H </tex> существует единственное представление <tex> x = x_1 + x_2 </tex>, где <tex> x_1 \in H_1, x_2 \in H_2 </tex> и <tex> x_1 \perp x_2 </tex>.
|proof=
{{TODO|t=Где именно? Было ли вообще это утверждение доказано в курсе матана?}}
Доказательство из [http://www.apmath.spbu.ru/ru/education/final/question07.pdf]
Положим <tex>d = \rho(x, H_1)</tex>, <tex>d_n=d+\frac1n</tex> и для каждого <tex>n\in\mathbb{N}</tex> найдём <tex>x_n \in H_1</tex> такой, что <tex>\|x-x_n\|<d_n</tex>.
По равенству параллелограмма, <tex>\|2x-(x_n+x+m)^2\|+\|x_m-x_n\|^2 = 2(\|x-x_n\|^2+\|x_m-x\|^2)</tex>. Так как <tex>\frac{x_n+x_m}{2}\in H_1</tex>, то <tex>\|x-\frac{x_n-x_m}2\|\ge d</tex> или <tex>\|2x-(x_n+x_m)^2\|\ge 4d^2\|</tex>. Тогда получаем, что <tex>\|x_m-x_n\|^2\le2(d_n^2+d_m^2)-4d^2</tex>. Но <tex>d_n, d_m \to d</tex>, и потому <tex>\|x_m-x_n\|_{n,m\to\infty}\to0</tex>, то есть, последовательность <tex>\{x_n\}</tex>{{---}}фундаментальная. Вследствие полноты <tex>H</tex>, существует <tex>x'=\lim x_n</tex>, а так как множество <tex>H_1</tex> замкнуто (по определению подпространства), то <tex>x'\in H_1</tex>. При этом <tex>\|x-x'\|=\lim \|x-x_n\|</tex> и из <tex>\|x-x_n\|\le d_n</tex> следует, что <tex>\|x-x'\|\le d</tex>. Но так как знак <<меньше>> невозможен, то <tex>\|x-x'\|=d</tex>.
Теперь положим <tex>x''=x-x'</tex> и покажем, что <tex>x''\in H_2</tex>, то есть, <tex>x'' \perp H_1</tex>. Возьмём <tex>y\in H_1\setminus \{\varnothing\}</tex>. При любом <tex>\lambda</tex> имеем <tex>x'+\lambda y \in H_1</tex>, так что <tex>\|x''-\lambda y\|^2=\|x-(x'+\lambda y)\|^2 \ge d^2</tex>, что можно, воспользовавшись <tex>\|x-x'\|=d</tex>, переписать в форме {{TODO|t=wtf лямбда с палкой}}<tex>-\bar\lambda(x'',y)-\lambda(y,x'')+|\lambda|^2(y,y)\ge 0</tex>. В частности, при <tex>\lambda=\frac{(x'',y)}{(y,y)}</tex> получаем отсюда <tex>-\frac{|(x'',y)|^2}{(y,y)}-\frac{|(x'',y)|^2}{(y,y)}+\frac{|(x'',y)|^2}{(y,y)}\ge 0</tex>, то есть, <tex>|(x'',y)|^2 \le 0</tex>, что может быть только лишь в случае <tex>(x'',y)=0</tex>. Итак, возможность представления <tex>x</tex> в форме <tex>x=x'+x''</tex> и соотношение <tex>\|x-x'\|=\rho(x, H_1)\|</tex> установлены.
Докажем единственность такого представления. В самом деле, если <tex>x=x_1'+x_1''</tex>(<tex>x_1'\in H_1</tex>,<tex>x_1''\in H_2</tex>), то сопоставив это с <tex>x=x'+x''</tex>, получим <tex> x'-x_1'=x_1''-x''</tex>. Поскольку <tex>x'-x_1' \in H_1</tex>, <tex>x_1''-x''\in H_2</tex>, то <tex>x'-x_1' \perp x_1''-x''</tex>, откуда получаем <tex>x'-x_1' = x_1''-x'' = 0</tex>.
{{TODO|t=Чукча не читатель, чукча писатель. Проверить, правильно ли переписано}}
}}
