262
правки
Изменения
м
→Санкт-Петербургский парадокс
=== Разбор ===
Согласно некоторым статистическим данным, игрок готов заплатить за участие в такой игре 10-20, редко 50 рублей, что нелогично с математической точки зрения, ведь математическое ожидание выигрыша в такой ситуации равно бесконечности. Докажем это:
Рассмотрим величину <tex dpi="120130"> E_{n} </tex> - математическое ожидание выигрыша с n-й попытки:
<tex dpi="150130"> E_{1} = 1 \cdot \frac{1}{2} = 0,5</tex>;
<tex dpi="150130"> E_{2} = 2 \cdot \frac{1}{4} = 0,5</tex>;
...
<tex dpi="150130"> E_{n} = \frac{2^{n-1}}{2^n} = 0,5</tex>;
Согласно линейности математического ожидания, ожидание выигрыша в этом случае равно <tex dpi="120130">E_{1}+E_{1}+... = 0,5+0,5+0,5 = \infty </tex><br>
Данный парадокс до сих пор не имеет математически полного решения. Нетрудно заметить, что задача легко решается если наложить ограничения на количество игр и предельно малую вероятность, которую можно считать ненулевой.
Вероятность того, что в определённой игре количество бросков превысит ''<tex dpi="130">n''</tex>, равна <tex dpi="150130">\frac{1}{2^{n}}</tex>. Пусть игрок может сыграть не более ''<tex dpi="130">k'' </tex> игр. Тогда вероятность того, что количество бросков хотя бы в одной игре превысит ''<tex dpi="130">n''</tex>, равна <tex dpi="120130">1-(1-\frac{1}{2^{n}})^{k}</tex>.
Известно, что <tex dpi="150130">\lim_{n\rightarrow\infty}1-(1-\frac{1}{2^{n}})^{k} = \frac{k}{2^{n}}</tex> (теорема Бернулли).Пусть ''<tex dpi="130">p'' </tex> - предельная ненулевая вероятность. Тогда «реальное» количество бросков не превышает <tex dpi="150130">\log_2 \frac{k}{p}</tex>. При таком допущении средний выигрыш за одну игру приближёно равен:
<tex dpi="150130">1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4}+...+2^{n} \cdot \frac{1}{2^{n+1}}=\frac{n}{2},</tex> где <tex dpi="150130">n=\log_2 \frac{k}{p}.</tex>
Таким образом, средний выигрыш равен <tex dpi="150130">\frac{1}{2} \log_2 \frac{k}{p}.</tex>
== Ссылки ==
