1302
правки
Изменения
м
Нет описания правки
|definition=
'''Топологическое векторное пространство''' — линейное пространство, наделенной такой топологией, что операции сложения векторов и умножения на скаляр в ней непрерывны в этой топологии, то есть:
* непрерывность умножения на скаляр: <tex> \alpha x \to \alpha_0 x_0 </tex>, если <tex> \alpha \to \alpha_0 </tex>, <tex> x \to x_0 </tex>. Означает, что для любой окрестности <tex> U(\alpha_0 x_0) </tex> существует <tex> \varepsilon > 0 </tex> и существует <tex> U(x_0): |\alpha - \alpha_0| < \varepsilon, x \in U(x_0) \Rightarrow implies \alpha x \in U(\alpha_0 x_0) </tex>* непрерывность сложения векторов: <tex> x + y \to x_0 + y_0 </tex>, если <tex> x \to x_0 </tex>, <tex> y \to y_0 </tex>. Означает, что для любой окрестности <tex> U(x_0 + y_0) </tex> существуют окрестности <tex> U(x_0), U(y_0): \forall x \in U(x_0) \forall y \in U(y_0) \Rightarrow implies x + y \in U(x_0 + y_0) </tex>.
}}
# Рассмотрим отображение <tex> x \mapsto x + x_0 </tex>, то есть сдвиг на <tex> x_0 </tex>. Это отображение взаимно однозначно, следовательно непрерывно, то есть если <tex> G \in \tau </tex> (открыто), <tex> G + x_0 </tex> также открыто. То есть получили, что векторная топология инвариантна относительно сдвигов.
# Установим, что можно создать базу окрестностей нуля, составляющую из радиально-уравновешенных множеств. <tex> \lambda x \to 0, x \to 0, \lambda \to 0 </tex>, то есть <tex> \forall U(0) \exists \delta > 0, W(0): |\lambda| \le \delta </tex> <tex> x \in W(0) \Rightarrow implies \lambda x \in U(0) \Leftrightarrow iff \lambda W(0) \subset U(0) \Rightarrow implies \bigcup\limits_{|\lambda| \le \delta} \lambda W(0) \subset U(0) </tex>, где <tex> \lambda W(0) </tex> — уравновешено и окрестность 0.#: Для радиальности: <tex> \forall x_0 \in X, \lambda \to 0, \lambda x_0 \to 0 x_0 = 0 \Rightarrow implies \forall U(0) \exists \delta > 0: |\lambda| \le \delta, \lambda x_0 \in U(0) </tex>. <tex> x_0 \in {1 \over \lambda} U(0), |\lambda| \le \delta, \left| {1 \over \lambda} \right| \ge {1 \over \delta} </tex>, то есть <tex> U(0) </tex> поглощает <tex> x_0 </tex>.# <tex> x + y \to 0, x, y \to 0 \forall U(0) \exists U_1(0) \Rightarrow implies U_1(0) + U_1(0) \subset U(0) </tex>.
В обратную сторону, то есть если соблюдаются эти три свойства, в этой топологии линейные операции непрерывны:
Непрерывность умножения: пусть <tex> \lambda \to \lambda_0, x \to x_0 </tex>, покажем что <tex> \lambda x \to \lambda_0 x_0 </tex>. Пусть <tex> \lambda = \lambda_0 + \alpha, \alpha \to 0 </tex>, <tex> x = x_0 + u, u \to 0 </tex>. Тогда <tex> \lambda x = (\lambda_0 + \alpha) (x_0 + u) = \lambda_0 x_0 + (\lambda_0 u + \alpha x_0 + \alpha u) </tex>. Покажем, что вторая скобка стремится к нулю.<br/>
1) <tex>\alpha x_0</tex> из радиальной окрестности нуля, значит стремится к нулю.<br/>
2) <tex>\alpha \to 0 \Rightarrow implies |\alpha| \le 1,</tex>по условию теоремы<tex> \exists U(0)</tex> - уравновешенное <tex> \Rightarrow implies \alpha U(0) \subset U(0) \Rightarrow implies \alpha u \to 0 </tex>.<br/>3) по условию теоремы <tex>\forall U(0) \exists U_1 (0) : U_1(0)+U_1(0) \subset U(0) \Rightarrow implies 2U_1(0) \subset U(0)</tex>. Раз <tex>U_1(0)</tex> {{--- }} окрестность 0 <tex> \Rightarrow implies \exists 2U_2(0) \subset U_1(0) ... \Rightarrow implies 2^n U_n(0) \subset ... \subset 2 U_1 (0) \subset U(0)</tex><tex> \Rightarrow implies \exists n_1 : | {\lambda_0 \over 2^{n_1}} | < 1 \Rightarrow implies </tex> если <tex>u \in U_{n_1}(0), 2^{n_1} U_{n_1}(0) \subset U \Rightarrow implies 2^{n_1} u \in U(0) \Rightarrow implies {\lambda_0 \over 2^{n_1}} 2^{n_1} u \in U(0) \Rightarrow implies \lambda_0 u \in U \Rightarrow implies \lambda_0 u \to 0</tex>.
Получили, что скобка стремится к нулю, значит умножение непрерывно.
<tex> p_M(x + y) \le p_M(x) + p_M(y) </tex>
<tex> \forall \varepsilon > 0 \exists \lambda_1, \lambda_2: p_M(x) < \lambda_1 < p_M(x) + \varepsilon </tex>, <tex> p_M(y) < \lambda_2 < p_M(y) + \varepsilon </tex>, <tex> x \in \lambda_1 M, y \in \lambda_2 M \Rightarrow implies {x \over \lambda_1}, {y \over \lambda_2} \in M </tex>. Рассмотрим <tex> \alpha = {\lambda_1 \over \lambda_1 + \lambda_2}, \beta = {\lambda_2 \over \lambda_1 + \lambda_2} </tex>, заметим, что <tex> \alpha + \beta = 1 </tex>, из выпуклости получим, что <tex> \alpha {x \over \lambda_1} + \beta {y \over \lambda_2} \in M \Rightarrow implies {x + y \over \lambda_1 + \lambda_2} \in M \Rightarrow implies x + y \in (\lambda_1 + \lambda_2) M </tex>, то есть <tex> p_M(x + y) < \lambda_1 + \lambda_2 < p_M(x) + p_M(y) + 2 \varepsilon </tex>, сделав предельный переход, получим <tex> p_M(x + y) \le p_M(x) + p_M(y) </tex>.
<tex> p_M(\lambda x) = |\lambda| p_M(x) </tex> проверяется аналогично.
В обратную: пусть <tex> V </tex> — ограниченная выпуклая окрестность нуля. <tex> W </tex> — радиальная уравновешенная) окрестность 0: <tex> W \subset V </tex>, <tex> \mathrm{Cov} W </tex> — выпуклая оболочка множества <tex> W </tex>, <tex> V </tex> — выпуклая, <tex> \mathrm{Cov} W \subset V </tex>, <tex> \mathrm{Cov} W </tex> — радиальное уравновешенное множество, так как <tex> W </tex> — такое же. Из ограниченности <tex> V </tex> следует ограниченность <tex> \mathrm{Cov} W </tex>, то есть, мы построили <tex> V^* = \mathrm{Cov} W </tex> — радиальную уравновешенную выпуклую окрестность <tex> 0 </tex>.
<tex> V^* \to p_{V^*} </tex> — функционал Минковского — полунорма. <tex> V^* </tex> ограничено, тогда <tex> \{ {1 \over n} V^* \} </tex> — база окрестностей 0. Так как пространство Хаусдорфово, то <tex> \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over n} V^* = \{0\} \Rightarrow implies p_{V^*}(x) = 0 \Rightarrow implies x = 0 </tex>, то есть <tex> p_{V^*} </tex> — норма, а <tex> \{ {1 \over n} V^*\} </tex> — база окрестностей нуля, нормируемых функционалом Минковского.
}}
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]
