689
правок
Изменения
м
→Произведение компактных операторов
|about=следствие
|statement=
Если <tex> B </tex> — компактный оператор, то он (в бесконечномерном случае) не может быть непрерывно обратимым.
|proof=
От противного: пусть <tex> \exists B^{-1} \implies I = B \cdot B^{-1} </tex> — компактный по доказанному утверждению, что невозможно в бесконечномерном случае.
{{Утверждение
|statement =
Пусть <tex> A </tex> — компактный , тогда <tex> \implies R(A) </tex> — сепарабельно, (то есть , в <tex> R(A) </tex> существует счетное всюду плотное подмножество).
|proof =
<tex> X = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} V_n, \quad V_n = \{ x \mid \| x \| < n \} </tex> — счетное объединение шаров.
<tex> A(V_n) </tex> — относительно компактно.
Используя [[Теорема Хаусдорфа об ε-сетях|теорему Хаусдорфа]] , можно показать, что любое относительно компактное множество сепарабельно: объединение <tex>\varepsilon_{\frac{1}{n}}</tex>-сетей для <tex>n</tex> от <tex>1</tex> до <tex>\infty</tex> счетно и оно будет всюду плотным в этом множестве.
Счетное объединение сепарабельных множеств — сепарабельно, значит <tex> R(A) </tex> — сепарабельно.
}}
