85
правок
Изменения
Нет описания правки
Тогда нетрудно проверить, что эта сумма продолжается именно таким образом и, следовательно, мы можем обобщить ее в "строгом виде" как:
:<tex>\left\langle{m\atop n}\right\rangle = \sum\limits_{j=1}^{n+1} (-1)^{n-j+1} {m+1\choose n-j+1}j^{m}</tex>
===Связь чисел Эйлера I рода с сечениями гиперкубов===
{{Теорема
|statement=
Число <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает объем части <tex>n</tex>-мерного единичного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>;
|proof=
[[Файл:EulerianHC1.png|200px|thumb|m = 2, n = 1. V = 1/2]]
[[Файл:EulerianHC2.png|200px|thumb|m = 3, n = 2. V = 1/6]]
Положим <tex>W_n^k</tex> - фигура, образованная сечением гиперкуба <tex>[0,1]^{n}</tex> плоскостями <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = k</tex> и <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = k+1</tex>. Будем обозначать полупространство в <tex>\mathbb{R}^{n}</tex> как <tex>G_{w, z}^{n} = \{x \in \mathbb{R}^{n} : w \cdot x \le z \}</tex>
:<tex>W_n^k := \{ x \in \mathbb{R} : k \le x \cdot 1_{[n]} \le k+1 \} \cap I^{n}</tex>
Тогда перейдем к следующему равенству:
:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(W_n^k) = \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},k+1}^{n} \cap I^n) - \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},k}^{n} \cap I^n)</tex>
:<tex>= \frac{1}{n!}[\sum\limits_{j=0}^{k+1}(-1)^{j}{n \choose j}(k+1-j)^{n} - \sum\limits_{j=0}^{k}(-1)^{j}{n \choose j}(k-j)^{n}]</tex>
:<tex> = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{k+1}(-1)^j{n+1 \choose j}(k+1-j)^n</tex>
:<tex> = \frac{1}{n!}\left\langle{n\atop k}\right\rangle</tex>
}}
===Свойства===
1. Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:
3. Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний:
:<tex>\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m {\left\langle{n\atop m}\right\rangle}{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex>
4. Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex> равна <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex>.
