Изменения

|statement = Пусть в сплей-дерево сложены ключи граф <tex> G </tex> имеет <tex>n \geqslant 3</tex> вершин. Если для всякого <tex> 1k, \dotsc, 1 \leqslant k < (n -1)/2</tex> число вершин со степенями, не превосходящими <tex>k</tex>, зафиксируем один из ключей меньше чем <tex> f k</tex>, пусть выполняется и для нечетного <tex> m n</tex> запросов к ключам. Тогда суммарное время на запросы есть число вершин степени <tex> \displaystyle O(n \log_{-1)/2} </tex> не превосходит <tex>(n + m + \sum_{i=1}^{m} \log_2 ( \lvert q_{i} - f \rvert + 1)) /2</tex>, где то <tex> q_{i} G </tex> {{---}} <tex> i </tex>-й запросгамильтонов граф.

Покажем сначала, что всякая вершина, степень которой не меньше <tex> a_(n-1)/2 </tex>, смежна с каждой вершиной со степенью, большей чем <tex> (n-1)/2 </tex>. Допустим (не теряя общности), что <tex> \deg v_{1} \geqslant (n-1)/2 </tex> и <tex> \deg v_{n} \geqslant n/2 </tex>, но вершины <tex> v_{1} </tex> и <tex> v_{n} </tex> не смежны. Тогда существует простая остовная цепь <tex> v_{1} v_{2} \dotsc v_{n} </tex>, соединяющая <tex> v_{1} </tex> и <tex> v_{n} </tex>. Обозначим вершины, смежные с <tex> v_{1} </tex>, через <tex> v_{{i}_{1}}, \dotsc,v_{{i} _{k}} </tex>, где <tex> k = t_\deg v_{1} </tex> и <tex> 2=i_{1} < i_{2} < \dotsc < i_{k} </tex>. Ясно, что вершина <tex> v_{n} </tex> не может быть смежной ни с одной вершиной из <tex> G </tex> вида <tex> v_{{i} + _{j-1}} </tex>, поскольку тогда в <tex> G </tex> был бы гамильтонов цикл <tex> v_{1} v_{2} \Phi_dotsc v_{{i} _{j- 1}} v_{n} v_{n-1} \Phi_dotsc v_{{i-}_{j}} v_{1} </tex> .

По условию выполняется Далее, так как <tex> k \geqslant (n-1)/2 </tex>, то <tex> m n/2 \leqslant \deg v_{n} \leqslant n-1-k < n/2 </tex> запросов, следовательночто невозможно. Поэтому <tex> v_{1} </tex> и <tex> v_{n} </tex> должны быть смежны.

Отсюда следует, что если <tex> T = \displaystyle deg v \sum_geqslant n/2 </tex> для всех вершин <tex> v </tex>, то <tex> G </tex> {i=1}^{m---} t_{i} = \sum_гамильтонов граф. В силу изложенного выше каждая пара вершин графа <tex> G </tex> смежна, т.е. <tex> G </tex> {i=1}^{m} \left(a_{i} + \Phi_{i-1} - \Phi_{i-} \right) = \sum_{i=1}^полный граф. Мы пришли к противоречию, поскольку <tex> K_{mn} a_</tex> {i} + \Phi_{0} - \Phi_{m--} = \sum_{i=1}^{m} a_{i} + \Delta \Phi </tex> гамильтонов граф для всех <tex> (n \ast) geqslant 3 </tex>.

# Весом узла с ключом <tex> q </tex> будем называть величину <tex> w(q) =\displaystyle \frac {1}{\left(\lvert q - f \rvert + 1 \right )^{2}} </tex>. # Размером узла, содержащего ключ <tex> q </tex>, будем называть величину <tex> s(q) = \displaystyle \sum_{y} w(y) </tex>, где <tex> y </tex> {{---}} узлы поддерева с корнем в <tex> q </tex>.Следствие# <tex> r(q) |id = \log_{2}s(q) </tex> {{---}} ранг узла. # Потенциал дерева обозначим как <tex> \Phi = \displaystyle \sum_{q|about =1}^{n} r(q) = \displaystyle \sum_{q=1}^{n} \log_{2}s(q) </tex>. Пусть <tex> W </tex> {{---}} вес дерева. Тогда <tex> W = \displaystyle \sum_{q=1}^{n} w(q) = \sum_{q=1}^{n} \frac {1}{\left(\lvert q - f \rvert + 1 \right)^{2}} \leqslant 2 \cdot \sum_{q=1}^{+\infty} \frac {1}{ \left ( \lvert q - f \rvert + 1 \right)^{2}} = O(1) </tex>. Из определения размера узла следует, что <tex> w(q) \leqslant s(q) \leqslant W </tex>. Также заметим, что для любого <tex> q </tex> от <tex> 1 </tex> до <tex> n </tex> верно <tex> w(q) \geqslant \displaystyle \frac {1}{n^{2}} </tex>. Тогда изменение потенциала <tex> \Delta\Phi \leqslant \displaystyle \sum_{q=1}^{n} \log_{2} W - \sum_{q=1}^{n} \log_{2}w(q) = \sum_{q=1}^{n} \log_{2} \frac {W}{w(q)} = O \Biggl(\sum_{q=1}^{n} \log_{2} n^{2}\Biggr) = </tex> <tex> \displaystyle O\Biggl(2 \cdot\sum_{q=1}^{n} \log_{2} n\Biggr) = O\left(n \log_{2}n\right) </tex>. Обозначим за <tex> t </tex> корень сплей-дерева. Тогда, воспользовавшись вышеуказанной леммой, получаем, что <tex> \displaystyle a_{i} = 3 \cdot \left( r(t) - r(q_{i}) \right) + 1 = O\left(\log_{2} \frac{s(t)}{s\left(q_{i}\right)}\right) + 1 = O\left(\log_{2} \frac{W}{w(q_{i})}\right) + 1 = </tex> <tex> O\left(\log_{2} \left(W \cdot \left(\lvert q - f \rvert + 1 \right)^{2} \right ) \right ) + 1 = O\left(\log_{2} \left(\lvert q - f \rvert + 1 \right) \right ) + 1 </tex> Тогда, подставляя найденные значения в формулу <tex> (\ast) </tex>, получаем, что  <tex>T=\displaystyle \sum_{i=1}^{m} \left ( O \left( \log_{2} \left ( \lvert q_{i} - f \rvert + 1 \right) \right) + 1 \right ) + O\left ( n \log_{2} n \right) = </tex> <tex> \displaystyle O \left (n \log_{2} n + m + \displaystyle \sum_{i=1}^{m} \log_2 \left( \lvert q_{i} - f \rvert + 1 \right) \right)</tex>