Изменения
→Лемма Урысона
{{Теорема
|statement=
<tex>F_0, F_1, F_2 - </tex> два непересекающихся замкнутых множества из <tex>\mathbb{R}^m</tex><br>Тогда <tex>\exists f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}</tex> (непрырывная)<tex>: f|_{F_1F_0}=0, f|_{F_2F_1}=1</tex>
|proof=
<tex>\forall</tex> замкн. <tex>F</tex> и <tex>\forall</tex> откр. <tex>G \supset F</tex> <tex>\exists</tex> откр. <tex>H : F \subset H \subset \overline H \subset G</tex>.<br>
<tex>\exists U(F_0), U(F_1)</tex> — откр.: <tex>U(F_0) \cap U(F_1) = \varnothing</tex><br>
<tex>F_0 \subset G_0 \subset \overline{G_0} \subset F_1^c = G_1</tex><br>
<tex>\overline{G_0} \subset G_1 \quad \exists G_{1/2} \quad \overline{G_0} \subset G_{1/2} \subset \overline{G_{1/2}} \subset G_1</tex><br>
Аналогично можно ввести <tex>G_{1/4}, G_{3/4}</tex> и так далее <tex>G_{\alpha}</tex> для любого двоично-рационального <tex>\alpha \in [0; 1]</tex>.
<tex>f(x) := \sup \{\alpha</tex> — дв. рац. <tex>{} \mid x \in G_\alpha \}</tex> — непр.
<tex>(a, b) \subset [0, 1], a</tex> — дв. рац. <tex>{}\quad f^{-1}(a, b) = \displaystyle\bigcup_{\substack{\alpha \in (a, b) \\ \alpha \text{ is dyadic rat.}}} G_\alpha \setminus \overline{G_a}</tex>
}}
