97
правок
Изменения
Нет описания правки
{{Определение|definition = '''(Ориентированным ) гамильтоновым путемциклом''' в (ориентированном) графе <math>G</math> называется то же самое для ориентированного графа (должна существовать дуга гамильтонов путь <math>n_{1}</math>, <math>n_{2}</math>, ..., <math>n_{k}</math> такой, что существует ребро из <math>n_{ik}</math> в <math>n_{i+1}</math>).}}
===Определение 2==='''Гамильтоновым циклом''' Задача о гамильтоновом цикле в графе <math>G</math> называется упорядочение всех узлов <math>n_{1}</math>, <math>n_{2}</math>, ..., <math>n_{k}</math>, при котором для каждого <math>i = 1, 2, ..., k - 1</math> существует ребро из <math>n_{i}</math> в <math>n_{i+1}</math>, а также существует ребро из <math>n_{k}</math> в <math>n_{1}</math>.= '''Ориентированным гамильтоновым циклом''' называется то же самое для ориентированного графа (должна существовать дуга из <math>n_{i}</math> в <math>n_{i+1}</math> и дуга из <math>n_{k}</math> в <math>n_{1}</math>).Определение ==Формулировка задачи о гамильтоновом цикле в графе=|definition =В '''задаче об (ориентированном) гамильтоновом цикле в графе''' ([U]HAM) в качестве входных данных выступает ''' - задача нахождения (ориентированныйориентированного) граф <math>G</math>. Требуется выяснить, есть ли гамильтонова цикла в заданном (ориентированном) графе <math>G</math> (ориентированный) гамильтонов цикл.}}===Доказательство NP-полноты задачи об ориентированном гамильтоновом цикле в графе (HAM)для неориентированного графа===Для доказательства того, что HAMP HAM <math>\in</math> [[NPC]], необходимо доказать два факта:
*HAM <math>\in</math> [[NP]]
*HAM <math>\in</math> [[NPH]]
====Доказательство принадлежности к NP====
В качестве сертификата возьмем ориентированный гамильтонов цикл в графе <math>G</math>. Очевидно, он удовлетворяет всем требованиям, налагаемым на сертификат. Проверяющая функция строится очевидным образом, работает за полиномиальное от размера входа время.
====Доказательство принадлежности к NPH<ref>Ахо, Альфред, В., Хопкрофт, Джон, Ульман, Джеффри, Д. "Структуры данных и алгоритмы" {{---}} Издательский дом «Вильямс», 2000. {{---}} С. 384. {{---}} ISBN 5-8459-0122-7 (рус.) / ISBN 0-201-00023-7 (англ.)</ref>====
Сведем задачу о выполнимости булевых формул вида [[3CNFSAT | 3-КНФ (3CNF SAT) ]] к HAM. Начнем построение экземпляра HAM по булевой формуле в 3КНФ. Пусть формула имеет вид <math>E = e_1 \land e_2 \land... \land e_k</math>, где каждое <math>e_i</math> - дизъюнкт, представляющий собой сумму трех литералов, скажем, <math>e_i = (\alpha_{i1} + \alpha_{i2} + \alpha_{i3})</math>. Пусть <math>x_1, x_2, ..., x_n</math> - переменные в формуле <math>E</math>. Для всех дизъюнктов и переменных строятся подграфы, как показано на рисунках.
Для каждой переменной <math>x_i</math> строится подграф <math>H_i</math>, структура которого показана на рисунке а)1. Здесь <math>m_i</math> - большее из чисел вхождений <math>\bar{x_i}</math> и <math>x_i</math> в <math>E</math>. Узлы <math>c_{ij}</math> и <math>b_{ij}</math>, расположенные в двух столбцах, соединены между собой дугами в обоих направлениях. Кроме того, каждое <math>b</math> имеет дугу, ведущую в <math>c</math>, расположенное на ступеньку ниже, т.е., если <math>j < m_i</math>, то <math>b_{ij}</math> имеет дугу, ведущую в <math>c_{i,j+1}</math>. Аналогично для <math>c_{ij}</math>. Наконец, есть верхний узел <math>a_i</math>, из которого дуги ведут в <math>b_{i0}</math> и <math>c_{i0}</math>, и нижний узел <math>d_i</math>, в который ведут дуги из <math>b_{im_i}</math> и <math>c_{im_i}</math>.
На рисунке б) 2 показана структура графа в целом. Каждый шестиугольник пятиугольник представляет один подграф, построенный для переменной (его структура показана на рисунке а)1. Шестиугольники пятиугольники расположены циклически, и из нижнего узла каждого подграфа дуга ведет в верхний узел следующего.
Таким образом, если начало цикла имеет вид <math>a_{1}</math>, <math>b_{10}</math>, то далее он должен спускаться "лесенкой", переходя из стороны в сторону:
Закончив обход подграфа <math>H_1</math>, цикл должен перейти в <math>a_2</math>, где снова возникает выбор следующего перехода - в <math>b_{20}</math> или в <math>c_{20}</math>. Однако в силу тех же аргументов, которые приведены для <math>H_1</math>, после того, как сделан выбор направления вправо или влево от <math>a_{2}</math>, путь обхода <math>H_{2}</math> уже зафиксирован. Вообще, при входе в каждый <math>H_{i}</math>, есть выбор перехода влево или вправо, но никакого другого. Иначе некоторый узел обречен быть недоступным, т.е. он не сможет появиться в ориентированном гамильтоновом цикле, поскольку все его предшественники появились в нем ранее.
В дальнейшем это позволит нам считать, что выбор перехода из <math>a_{i}</math> в <math>b_{i0}</math> означает приписывание переменной <math>x_{i}</math> значения "истина", а перехода в <math>c_{i0}</math> - значения "ложь". Поэтому граф на рисунке б) 2 имеет <math>2^n</math> ориентированных гамильтоновых циклов, соответствующих <math>2^n</math> возможным подстановкам для <math>n</math> переменных.
Однако на рисунке б) 2 изображен лишь скелет графа, порождаемого по формуле <math>E</math>, находящейся в 3-КНФ. Каждому дизъюнкту <math>e_{i}</math> ставится в соответствие подграф <math>I_{j}</math> (рисунок в3). Он обладает тем свойством, что если цикл входит в <math>r_{j}</math>, то должен выходить из <math>u_{j}</math><ref>Хопкрофт Дж., Мотвани Р., Ульман Дж. Введение в теорию автоматов, языков и вычислений. 2-е издание. {{---}} М.: Издательский дом "Вильямс", 2002. {{---}} 528 с. {{---}} ISBN 5-8459-0261-4 (рус.)</ref>. Аналогично для <math>s, v</math> и <math>t, w</math> (доказательство этого утверждения см. в книге "Введение в теорию автоматов, языков и вычислений", Дж. Хопкрофт, Р. Мотвани, Дж. Ульман).
В завершение построения графа <math>G</math> для формулы <math>E</math> соединяем подграфы <math>I</math> и <math>H</math> следующим образом. Допустим, у дизъюнкта <math>e_i</math> первым литералом является <math>x_i</math>, переменная без отрицания. Выберем некоторый узел <math>c_{ip}</math>, где <math>p</math> от 0 до <math>m_{i}</math> - 1, ранее не использованный для соединения с подграфами <math>I</math>. Введем дуги, ведущие из <math>c_{ip}</math> в <math>r_{j}</math> и из <math>u_{j}</math> в <math>b_{i,p+1}</math>. Если же первым литералом дизъюнкта <math>e_j</math> является отрицание <math>\bar{x_i}</math>, то нужно отыскать неиспользованный узел <math>b_{ip}</math>, а затем соединить <math>b_{ip}</math> с <math>r_{j}</math> и <math>u_{j}</math> с <math>c_{i,p+1}</math>
Мы утверждаем, что построенный таким образом граф <math>G</math> имеет ориентированный гамильтонов цикл тогда и только тогда, когда формула <math>E</math> выполнима.
=====Доказательство достаточности=====
Предположим, существует подстановка <math>T</math>, удовлетворяющая формуле <math>E</math>. Построим ориентированный гамильтонов цикл следующим образом.
# Вначале выберем путь, обходящий только подграфы <math>H</math> (т.е. граф, изображенный на рисунке б) 2 в соответствии с подстановкой <math>T</math>. Таким образом, если <math>T(x_{i}) = 1</math>, то цикл переходит из <math>a_{i}</math> в <math>b_{i0}</math>, а если <math>T(x_{i}) = 0</math>, то он переходит из <math>a_i</math> в <math>c_{i0}</math>.
#Однако цикл, построенный к данному моменту, может содержать дугу из <math>b_{ip}</math> в <math>c_{i,p+1}</math>, причем у <math>b_{ip}</math> есть еще одна дуга в один из подграфов в <math>I_{j}</math>, который пока не включен в цикл. Тогда к циклу добавляется "крюк", который начинается в <math>b_{ip}</math>, обходит все шесть узлов подграфа <math>I_{j}</math> и возвращается в <math>c_{i,p+1}</math>. Дуга из <math>b_{ip}</math> в <math>c_{i,p+1}</math> исключается из цикла, но узлы на ее концах остаются в нем.
#Аналогично, если в цикле есть дуга из <math>c_{ip}</math> в <math>b_{i,p+1}</math> и у <math>c_{ip}</math> есть еще одна дуга в один из <math>I_{j}</math>, пока не включенных в цикл, то к циклу добавляется "крюк", проходящий через все шесть узлов <math>I_{j}</math>.
Тот факт, что <math>T</math> удовлетворяет формуле <math>E</math>, гарантирует, что исходный путь, построенный на шаге 1, будет содержать, по крайней мере, одну дугу, которая на шаге 2 или 3 позволит включить в цикл подграф <math>I_j</math> для каждого дизъюнкта <math>e_i</math>. Таким образом, цикл включает в себя все подграфы <math>I_j</math> и является ориентированным гамильтоновым.
=====Доказательство необходимости=====
Предположим, что граф <math>G</math> имеет ориентированный гамильтонов цикл, и покажем, что формула <math>E</math> выполнима. Напомним два важных пункта из предыдущего анализа.
# Если гамильтонов цикл входит в некоторый <math>I_j</math> в узле <math>r_{j}</math>, <math>s_{j}</math> или <math>t_{j}</math>, то он должен выходить из него в узле <math>u_{j}</math>, <math>v_{j}</math> или <math>w_{j}</math> соответственно.
Причина в том, что если цикл переходит из <math>a_{i}</math> в <math>b_{i0}</math>, то экскурсия в <math>I_{j}</math> может быть совершена только тогда, когда <math>j</math>-й дизъюнкт содержит <math>x_i</math> в качестве одного из литералов. Если цикл переходит из <math>a_i</math> в <math>c_{i0}</math>, то экскурсия в <math>I_{j}</math> может быть совершена только тогда, когда <math>\bar{x_i}</math> является литералом в <math>j</math>-ом дизъюнкте. Таким образом, из того, что все подграфы <math>I_j</math> могут быть включены в граф, следует, что при данной подстановке хотя бы один из литералов в каждом дизъюнкте истинен, т.е. формула <math>E</math> выполнима.
===Доказательство NP-полноты задачи о гамильтоновом цикле в графе (UHAM)для ориентированного графа===
Для доказательства того, что UHAM <math>\in</math> [[NPC]], необходимо доказать два факта:
*UHAM <math>\in</math> [[NP]]
*UHAM <math>\in</math> [[NPH]]
====Доказательство принадлежности к NP====
В качестве сертификата возьмем гамильтонов цикл в графе <math>G</math>. Очевидно, он удовлетворяет всем требованиям, налагаемым на сертификат. Проверяющая функция строится очевидным образом, работает за полиномиальное от размера входа время.
====Доказательство принадлежности к NPH====Сведем задачу о гамильтоновом цикле (HAM) к UHAM. Пусть дан ориентированный граф <math>G</math>. Построим по нему неориентированный граф <math>H</math>. Для этого каждой вершине из графа <math>G</math> поставим в соответствие 3 вершины в графе <math>H</math>, соединив в <math>H</math> ребром первую получившуюся со второй, а вторую - с третьей. Для каждой дуги, инцидентной исходной вершине в <math>G</math> поставим в соответствие ребро в <math>H</math>. В случае, если дуга исходит из этой вершины, то соединим ребро с последней из получившихся вершин в <math>H</math>, а если она входит в вершину, то соединим с первой из получившихся (см. рисунок г4). Таким образом, в построенном графе <math>H</math> гамильтонов путь будет тогда и только тогда, когда в исходном графе <math>G</math> будет ориентированный гамильтонов путь.
==Формулировка задачи Задача о гамильтоновом пути в графе==В '''задаче об (ориентированном) гамильтоновом пути в графе{{Определение|definition = ''' ([U]HAMP) в качестве входных данных выступает ''' - задача нахождения (ориентированныйориентированного) граф <math>G</math>. Требуется выяснить, есть ли гамильтонова пути в заданном (ориентированном) графе <math>G</math> (ориентированный) гамильтонов путь.}}
===Доказательство NP-полноты задачи об ориентированном гамильтоновом пути в графе (HAMP)для ориентированного графа===
Для доказательства того, что HAMP <math>\in</math> [[NPC]], необходимо доказать два факта:
*HAMP <math>\in</math> [[NP]]
*HAMP <math>\in</math> [[NPH]]
====Доказательство принадлежности к NP====
В качестве сертификата возьмем ориентированный гамильтонов путь в графе <math>G</math>. Очевидно, он удовлетворяет всем требованиям, налагаемым на сертификат. Проверяющая функция строится очевидным образом, работает за полиномиальное от размера входа время.
====Доказательство принадлежности к NPH====
Сведем задачу об ориентированном гамильтоновом цикле (HAM) к HAMP. Пусть дан граф <math>G</math>. Выберем произвольную вершину графа <math>G</math> и раздвоим ее, и входящие дуги направим в одну из полученных вершин, а исходящие пустим из другой. Теперь, если в исходном графе был ориентированный гамильтонов цикл, то в полученном будет ориентированный гамильтонов путь. В обратную сторону, если в полученном графе будет ориентированный гамильтонов путь, то на первом и последнем местах в этом пути окажутся новые вершины, соответствующие раздвоенной, поскольку ни одна из них не может оказаться в середине пути (у неё есть либо входящие, либо исходящие дуги). Таким образом, если в полученном графе будет гамильтонов путь, то в исходном графе <math>G</math> был гамильтонов цикл.
===Доказательство NP-полноты задачи о гамильтоновом пути в графе (UHAMP)для неориентированного графа===
Для доказательства того, что UHAMP <math>\in</math> [[NPC]], необходимо доказать два факта:
*UHAMP <math>\in</math> [[NP]]
*UHAMP <math>\in</math> [[NPH]]
====Доказательство принадлежности к NP====
В качестве сертификата возьмем гамильтонов путь в графе <math>G</math>. Очевидно, он удовлетворяет всем требованиям, налагаемым на сертификат. Проверяющая функция строится очевидным образом, работает за полиномиальное от размера входа время.
====Доказательство принадлежности к NPH====
Сведем задачу о гамильтоновом цикле (HAMP) к UHAMP. Пусть дан ориентированный граф <math>G</math>. Построим по нему неориентированный граф <math>H</math>. Для этого каждой вершине из графа <math>G</math> поставим в соответствие 3 вершины в графе <math>H</math>, соединив в <math>H</math> ребром первую получившуюся со второй, а вторую - с третьей. Для каждой дуги, инцидентной исходной вершине в <math>G</math> поставим в соответствие ребро в <math>H</math>. В случае, если дуга исходит из этой вершины, то соединим ребро с последней из получившихся вершин в <math>H</math>, а если она входит в вершину, то соединим с первой из получившихся. Таким образом, в построенном графе <math>H</math> гамильтонов путь будет тогда и только тогда, когда в исходном графе <math>G</math> будет ориентированный гамильтонов путь.
==СсылкиСм. также==* [[Классы NP и Σ₁]]* [[3CNFSAT]] ==Источники информации==
<references/>
