113
правок
Изменения
→Аффинная независимость и базисы
{{Лемма
|statement=Пусть <math>\langle A, V, (+)\rangle</math> — это аффинное пространство. Пусть <math>\{a_i\}_{i=0}^n</math> — множество точек из <math>A</math>. Пусть <math>x \in A</math> представима в виде аффинной комбинации <math>\{a_i\}_{i=0}^n</math>. Тогда набор коэффициентов аффинной комбинации <math>\{\lambda_i\}_{i=0}^n</math>, что <math>x = \sum_{i=0}^n \lambda a_i</math>, единственен тогда и только тогда, когда набор векторов <math>\{\overrightarrow{a_0 a_i}\}_{i=1}^n</math> линейно независим.
|proof=Докажем единственность из линейной независимости. Пусть есть две аффинные комбинации с коэффициентами <math>\{\alpha_i\}_{i=0}^n</math> и <math>\{\beta\}_{i=0}^n</math>, дающие x. Посчитаем их, взяв за точку начала отсчёта точку <math>a_0</math>:
<math>\displaystyle
По [[#vectorUniqueness|лемме для векторного пространства]] такое разложение единственно, <math>\forall i \in \left[1..n\right] : \alpha_i = \beta_i \implies \alpha_0 = \beta_0</math>.
В обратную сторону доказывается идентично.
}}
Имеет смысл определить понятие базиса в аффинном пространстве.
