Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|definition=
<b>Остаточной пропускной способностью</b> ребра <tex>(u, v)</tex> называется величина дополнительного потока, который мы можем направить из <tex> u </tex> в <tex> v </tex>, не превысив пропускную способность <tex> c(u, v) </tex>. Иными словами <tex> c_f(u, v) = c(u, v) - f(u, v) </tex>.
}}
|definition=
Для заданных транспортной сети <tex>G=(V,E)</tex> и потока <tex>f</tex> <b>дополняющим путем</b> (augmenting path) <tex>p</tex> является простой путь из истока в сток в остаточной сети <tex>G_f=(V,E_f)</tex>.
}}
==Лемма о сложении потоков==
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> G = (V, E) </tex> - транспортная сеть с источником <tex>s</tex> и стоком <tex>t</tex>, а <tex>f</tex> - поток в <tex>G</tex>. Пусть <tex>G_f</tex> - остаточная сеть в <tex>G</tex>, порожденная потоком <tex>f</tex>, а <tex>f'</tex> - поток в <tex>G_f</tex>. Тогда сумма потоков <tex>f + f'</tex>, определяемая уравнением <tex>(f + f')(u, v) = f(u,v) + f'(u,v)</tex>, является потоком в <tex>G</tex>, и величина этого потока равна <tex>|f + f'| = |f| + |f'|</tex>.
|proof=
Необходимо проверить, выполняются ли ограничения антисимметричности, пропускной способности и сохранения потока. Для подтверждения антисимметричности заметим, что для всех <tex>(u,v) \in V</tex>, справедливо <br> <tex> (f + f')(u, v) = f(u,v) + f'(u,v) = -f(v,u) - f'(v,u) = </tex> <br> <tex> = -(f(v,u) + f'(v,u)) = -(f + f')(v,u)</tex>.<br>
Покажем соблюдение ограничений пропускной способности. Заметим, что <tex>f'(u,v) \le c_f(u,v)</tex> для всех <tex>u,v \in V </tex> и <tex> c_f(u, v) = c(u, v) - f(u, v) </tex>. Тогда <br>
<tex>(f + f')(u,v) = f(u,v) + f'(u,v) \le f(u,v) + (c(u,v) - f(u,v)) = c(u,v) </tex>. <br>
Заметим, что для всех <tex>u \in V - \{s,t\}</tex> справедливо равенство <br>
}}
