Изменения
Нет описания правки
Под "расставлением скобок" в ряде понимают буквально следующее: пусть имеется последовательность
:<tex>n_1 < n_2 < \dots</tex>,:<tex>\sum a_n = (a_1 + \dots + a_{n_1 - 1}) + (a_{n_1} + \dots + a_{n_2}) + \dots</tex>.
:<tex>b_p = \sum\limits_{k = n_{p - 1}}^{n_p - 1} a_k, \qquad n_0 = 1</tex>
Дан ряд <tex>\sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_n</tex>. Рассмотрим ряд <tex>\sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_{\varphi(n)}</tex>. Полученный ряд называется перестановкой ряда <tex>a_n</tex> по правилу <tex>\varphi</tex>.
{{Утверждение
|statement=
Пусть ряд из <tex>a_n \le 0</tex> сходится к <tex>A</tex>. Тогда <tex>\sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_{\varphi(n)} = A</tex>
|proof=
<tex>B_n = a_{\varphi(1)} + a_{\varphi(2)} + \dots + a_{\varphi(n)}, \qquad m_n = \max\limits_{i = 1..n}{\varphi(i)}</tex>
В силу положительности ряда <tex>a_n</tex> частичные суммы <tex>A_n</tex> ограничены.
:<tex>B_n \le a_1 + a_2 + \dots + a_{m_n} = A_{m_n} \le A</tex>, следовательно, частичные суммы <tex>B_n</tex> ограничены, и так как все <tex>a_n \le 0</tex>
:<tex>\lim\limits_{n \leftarrow \infty} B_n = B \le A</tex>.
Меняя местами исходный ряд на переставленный и наоборот, получаем неравенство <tex>A \le B</tex>, следовательно, <tex>B = A</tex>.
}}
{{Теорема
|statement=
Пусть ряд абсолютно сходится. Тогда любая его перестановка сходится к той же сумме.
|proof=
По линейности суммы ряда разложим исходный ряд на сумму двух вспомогательных:
:<tex>\sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_{\varphi(n)} = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_{\varphi(n)}^+ - \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_{\varphi(n)}^- = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_n^+ - \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_n^- = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_n</tex>.
}}
Для условно сходящихся рядов ситуация меняется. Имеет место теорема Римана (приводится без доказательства):
{{Теорема
|author=
Риман
|statement=
Пусть ряд из <tex>a_n</tex> условно сходится. Тогда для любого <tex>A</tex> из <tex>\mathbb{R} \cup \{ -\infty; +\infty \}</tex> существует такая перестановка <tex>\varphi</tex>, что <tex>A = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_{\varphi(n)}</tex>.
}}
