Изменения

|definition='''Непрерывная дробь''' (англ. ''continued fraction'') — это конечное или бесконечное математическое выражение вида<tex>a_0+\cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{b_3}{a_3+\ldots}}}= \biggl[ a_0;\cfrac{b_1}{a_1},\cfrac{b_2}{a_2},\cfrac{b_3}{a_3}, \cdots \biggr]\;</tex>

|definition='''Конечная непрерывная дробь''' (англ. ''finite continued fraction'') — это непрерывная дробь, которая состоит из конечного набора конечных наборов <tex>\langle a_0, a_1, a_2, a_3,\ldots, a_n \rangle</tex> и <tex>\langle b_0, b_1, b_2, b_3,\ldots, b_n \rangle.</tex>}}==Свойства==#Любая конечная дробь представима в виде некоторой рациональной дроби <tex>\cfrac{P_n}{Q_n}</tex>, которую называют '''n-ой подходящей дробью'''.#Всякий многочлен или дробно-рациональная функция может быть разложена в непрерывную дробь<ref>{{Хованский А. Н. Приложения цепных дробей и их обобщений к #:вопросам приближённого анализа (главы 1 и 2) М. Гостехиздат 1956}}</ref>:#:#:<tex>\cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2 x}{a_2+\cfrac{b_3 x}{a_3+\ldots}}}\;</tex>#:#:Например для функции <tex>f(x)=\displaystyle\frac{1-x}{1-5x+6x^2}</tex>:#:#:<tex>f(x)=\cfrac{1}{1-\cfrac{4 x}{1-\cfrac{2 x}{-4+6x}}}\;</tex>#:#Любая рациональная функция раскладывается в конечную непрерывную дробь.

|proof = Если у нас есть дробно-рациональная производящая функция <tex>\; f(x) = \cfrac{c_{1,0}+c_{1,1}x+c_{1,2}x^2+\cdots}{c_{0,0}+c_{0,1}x+c_{0,2}x^2+\cdots},</tex> то в общем случае: <tex>\; f(x) = \cfrac{1}{\cfrac{c_{0,0}}{c_{1,0}}+\cfrac{c_{0,0}+c_{0,1}x+c_{0,2}x^2+\cdots}{c_{1,0}+c_{1,1}x+c_{1,2}x^2+\cdots}-\cfrac{c_{0,0}}{c_{1,0}}} = \cfrac{c_{1,0}}{c_{0,0}+xf_1(x)},</tex>  где <tex>\; f_1(x) = \cfrac{c_{2,0}+c_{2,1}x+c_{2,2}x^2+\cdots}{c_{1,0}+c_{1,1}x+c_{1,2}x^2+\cdots}</tex> и <tex>\; c_{2,k} = c_{1,0} \cdot c_{0,k+1} - c_{0,0} \cdot c_{1,k+1} \; (k=0,1, \cdots).</tex> Аналогично <tex>\; f_1(x) = \cfrac{c_{2,0}}{c_{1,0}+xf_2(x)},</tex> где <tex>\; f_1(x) = \cfrac{c_{3,0}+c_{3,1}x+c_{3,2}x^2+\cdots}{c_{2,0}+c_{2,1}x+c_{2,2}x^2+\cdots}</tex> и <tex>\; c_{3,k} = c_{2,0} \cdot c_{1,k+1} - c_{1,0} \cdot c_{2,k+1} \; (k=0,1, \cdots)</tex> и так далее. Таким Образом <tex>\; f(x) = \cfrac{c_{1,0}}{c_{0,0}+\cfrac{c_{2,0}x}{c_{1,0}+\cfrac{c_{3,0}}{c_{2,0}+\ldots}}} = \biggl[ 0;\cfrac{c_{1,0}}{c_{0,0}},\cfrac{c_{2,0}x}{c_{1,0}},\cfrac{c_{3,0}x}{c_{2,0}}, \cdots , \cfrac{c_{n,0}x}{c_{n-1,0}} \biggr], </tex> При чем легко убедиться, что непрерывная дробь получится конечной.}}

Производящая функция Рассмотрим [[Производящая_функция| производящую функцию]] для [[Числа_Каталана| чисел Каталана удовлетворяет квадратному уравнению]]

<tex>Cat(s) = c_0 + c_1s + c_2s^2 + \cdots = 1 + s+ 2s^{2}+ 5s^3 + \cdots</tex> Возведя ее в квадрат и умножив результат на <tex>s</tex>, получим <tex>sCat^2(s) = c^2_0s + (c_0c_1 + c_1c_0)s^2 + (c_0c_2 + c_1c_1 + c_2c_0)s^3 + \cdots = s + 2s^2 + 5s^3 + 14s^4 + \cdots = Cat(s) − 1,</tex> что дает нам квадратное уравнение на производящую функцию <tex>sCat^{2}(s) − Cat(s) + 1 = 0.</tex>

<tex>Cat(s) - s^{2}CatsCat^{2}(s)= 1,</tex>

<tex>Cat(s) = \cfrac{1}{1 - s^{2}Cat^{2}sCat(s)}.</tex>

<tex>Cat(s) = \cfrac{1}{1 - \cfrac{s^{2}}{1 - s^{2}CatsCat(s)}}.</tex>

<tex>Cat(s) = \cfrac{1}{1 - \cfrac{s^{2}}{1 - \cfrac{s^{2}}{1 - \cdots}}}.</tex>

Полученное разложение нужно понимать следующим образом. Если мы оборвем непрерывную дробь на <tex>n</tex>-м шаге (оставив вместо нее конечную непрерывную дробь, которая представляет собой рациональную функцию), то коэффициенты разложения полученной функции по степеням <tex>s</tex> будут совпадать с коэффициентами разложения функции <tex>Cat(s)</tex> вплоть до члена <tex>s^{2nn}</tex>.Заметим, что из-за наличия множителя <tex>s^2</tex> в числителе очередной дроби, присоединяемой на <tex>(n + 1)</tex>-м шаге, увеличение числа членов в непрерывной дроби не приводит к изменению первых <tex>n</tex> коэффициентов в ее разложении. Например,

<tex>\cfrac{1}{1 - s^{2}} = \boldsymbol{1 + s^2} + s^4 2 + s^6 3 + s^8 4 + \cdots,</tex>

<tex>\cfrac{1}{1 - \cfrac{s^2}{1 - s^2}} = \boldsymbol{1 + s^2 + 2s^42} + 4s^6 3 + 8s^8 4 + \cdots,</tex>

<tex>\cfrac{1}{1 - \cfrac{s^{2}}{1 - \cfrac{s^{2}}{1 - s^2}}} = \boldsymbol{1 + s^2 + 2s^4 2 + 5s^63} + 13s^8 4 + \cdots</tex>

==Треугольник Дика и непрерывная дробь для чисел Эйлера=====Треугольник Дика===

 [[Файл:T1R3.PNG|250px]] 

мы будем интерпретировать как ее кратность, т.е. то есть как число различных стрелок, проходящих в данном направлении. В результате одному пути в треугольнике Дика отвечает несколько «различных» путей в треугольнике с кратностями. Их число равно произведению кратностей всех ребер, входящих в данный путь.ЧислаТо есть значение элемента треугольника, стоящие которому раньше соответствовал путь в нижней строке треугольника составляют последовательность чисел Эйлераточку плоскости <tex>(m;n)</tex>, теперь равно следующему: <tex>c_{m,n} = (n+1)c_{m-1,n+1}+nc_{m-1,n-1}</tex>. [[Файл:T2R6.PNG|500px]]  {{Теорема|statement=Производящая функция <tex>F_{0}(s) = 1 + s^2 + 5s^4 + 61s^6 + 1385s^8 + \cdots</tex> для нижней стороны треугольника Дика представляется ввиде непрерывной дроби <tex>F_{0}(s) = \cfrac{1}{1 - \cfrac{1^2s^{2}}{1 - \cfrac{2^2s^2}{1 - \cfrac{3^2s^2}{1 - \cdots}}}}.</tex> |proof=Производящая функция <tex>F_0(s)</tex> перечисляет различные пути с началом и концом на высоте <tex>0</tex>. Обозначим через <tex>F_i(s)</tex> производящую функцию, перечисляющую пути с началом и концом на высоте <tex>i</tex>, которые не опускаются ниже уровня <tex>i</tex>, по их длине.Тогда <tex>F_0(s) = \cfrac{1}{1 - s^2F_1(s)}.</tex> Действительно, каждый путь с началом и концом на высоте <tex>0</tex> единственным образом разбивается на такие участки, что#Концы пути на каждом участке лежат на высоте <tex>0</tex>.#Высота всех промежуточных точек пути на каждом участке больше нуля.Если отбросить начальный и конечный отрезок такого участка, то мы получим путь, начинающийся и заканчивающийся на высоте <tex>1</tex>. Аналогично, <tex>F_1(s) = \cfrac{1}{1 - 4s^2F_2(s)}.</tex> Появление четверки в коэффициенте при <tex>s^2</tex> объясняется тем, что к данному пути, начало и конец которого лежат на высоте <tex>2</tex>, начальный и конечный векторы, превращающие его в путь на высоте <tex>1</tex>, можно добавить четырьмя «различными» способами.Продолжая это рассуждение, мы заключаем, что <tex>F_k(s) = \cfrac{1}{1 - (k+1)^2s^2F_{k+1}(s)},</tex> и непрерывная дробь теперь выписывается очевидным образом: <tex>F_0(s) = \cfrac{1}{1 - s^2F_1(s)} = \cfrac{1}{1 - \cfrac{s^2}{1 - 4s^2F_2(s)}} = \cfrac{1}{1 - \cfrac{1s^{2}}{1 - \cfrac{4s^2}{1 - \cfrac{9s^2}{1 - \cdots}}}}.</tex> }}