302
правки
Изменения
Нет описания правки
Изменим несколько треугольник Дика, поставив на стрелках числа. А именно, поставим на каждой стрелке номер того ряда, в котором она находится. Номер на стрелке
мы будем интерпретировать как ее кратность, т.е. как число различных стрелок, проходящих в данном направлении. В результате одному пути в треугольнике Дика отвечает несколько «различных» путей в треугольнике с кратностями. Их число равно произведению кратностей всех ребер, входящих в данный путь.
[[Файл:T2.PNG|500px]]
виде непрерывной дроби
<tex>F_{0}(s) = \cfrac{1}{1 - \cfrac{1^2s^{2}}{1 - \cfrac{s^{2^2s^2}}{1 - \cfrac{3^2s^2}{1 - \cdots}}}}.</tex>
|proof=Производящая функция <tex>F_0(s)</tex> перечисляет различные пути с началом и концом на высоте <tex>0</tex>. Обозначим через <tex>F_i(s)</tex> производящую функцию, перечисляющую пути с началом и концом на высоте <tex>i</tex>, которые не опускаются ниже уровня <tex>i</tex>, по их длине.
и непрерывная дробь теперь выписывается очевидным образом:
<tex>F_0(s) = \cfrac{1}{1 - s^2F_1(s)} = \cfrac{1}{1 - \cfrac{s^2}{1 - 4s^2F_2(s)}} = \cfrac{1}{1 - \cfrac{1s^{2}}{1 - \cfrac{s^{4s^2}}{1 - \cfrac{9s^2}{1 - \cdots}}}}.</tex>
}}
