302
правки
Изменения
→Свойства
|definition='''K-подходящей дробью''' (англ. ''finite continued fraction'') непрерывной дроби <tex> \biggl[ a_0;\cfrac{b_k}{a_k} \biggr]^{n}_{1} </tex> называют обыкновенную дробь <tex>\cfrac{P_k}{Q_k} \equiv \biggl[ a_0;\cfrac{b_1}{a_1},\cdots,\cfrac{b_k}{a_k} \biggr] (k = 1,2\cdots)</tex>, где <tex>k \leqslant n</tex>, а <tex>P_i, Q_i</tex> - многочлены <tex>i</tex>-ой степени}}
==СвойстваРазложение дробно-рациональной производящей функции=={{Утверждение|statement=[[Теорема_о_связи_между_рациональностью_производящей_функции_и_линейной_рекуррентностью_задаваемой_ей_последовательности| Дробно-рациональная производящая функция]] всегда раскладывается в конечную непрерывную дробь.|proof = Если <tex>f(x) = \cfrac{c_{10}+c_{11}x+c_{12}x^2+\cdots}{c_{00}+c_{01}x+c_{02}x^2+\cdots},</tex> то в общем случае, проведя преобразования, будем иметь: <tex>f(x) = \cfrac{1}{\cfrac{c_{00}}{c_{10}}+\cfrac{c_{00}+c_{01}x+c_{02}x^2+\cdots}{c_{10}+c_{11}x+c_{12}x^2+\cdots}-\cfrac{c_{00}}{c_{10}}},</tex> где <tex>f_1(x) = \cfrac{c_{20}+c_{21}x+c_{22}x^2+\cdots}{c_{10}+c_{11}x+c_{12}x^2+\cdots},</tex> и <tex>c_{2k} = c_{10} \cdot c_{0, k+1} - c_{00} \cdot c_{1, k+1} (k=0,1, \cdots).</tex> }}
#Любая конечная дробь представима в виде некоторой рациональной дроби <tex>\cfrac{P_n}{Q_n}</tex>, которую называют '''n-ой подходящей дробью'''.
#Всякий многочлен или дробно-рациональная функция может быть разложена в непрерывную дробь.
#:
#Рациональная функция раскладывается в конечную непрерывную дробь.
==Функция Каталана в виде непрерывной дроби==
