689
правок
Изменения
м
Випишем Выпишем эти неравенства с <tex>n \in [N; m]</tex> и перемножим их:
пофиксил опечатки
|statement=
Пусть <tex>\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k</tex> {{---}} положительный ряд.
# Если <tex>\frac{a_{n + 1}}{a_n} \xrightarrow[n \to \infty]{} q</tex>, то при <tex>q < 1</tex> ряд сходится, при <tex>q > 1</tex> ряд расходится, при <tex>q = 1</tex> возможны оба варианта.(признак ДаламераДаламбера)
# Пусть <tex>\sqrt[n]{a_n} \xrightarrow[n \to \infty] q</tex>. Тогда выполняются такие же соотношения, что и в пункте 1.(Радикальный признак Коши)
|proof=
По определению предела <tex>\exists N\ \forall n > N:\ \frac{a_{n + 1}}{a_n} < q + \varepsilon_0</tex>
<tex>\frac{a_{m + 1}}{a_N} < (q + \varepsilon_0)^{m - N + 1}</tex>.
<tex>\sum\limits_{k = 1}^n f(k) \geq \int\limits_1^{n + 1} f(x) dx \geq \sum\limits_{k = 2}^{n + 1} f(k)</tex>
Сходимость несобственного интеграла с полоэительной положительной функцией определяется теоремой Вейерштрасса о монотонности функции, всё сводится к ограниченности <tex>\int\limits_1^A f(x) dx</tex>, но по <tex>A</tex> они возрастают <tex>\Rightarrow</tex> всё сводится к ограниченности <tex>\int\limits_1^{n + 1}</tex>. Но установленное неравенство показывает, что их ограниченность равносильна ограниченности частичных сумм <tex>f(k)</tex>. Значит, ряд и интеграл равносходятся.
}}
Рассмотрим ряд <tex>\sum\limits_{k = 1}^\infty \frac1{n \ln n}</tex>. <tex>f(x) = \frac1{n x \ln nx}</tex>
<tex>\int f(x) - = \int \frac1{\ln n} d \ln x = \ln \ln x</tex>
Значит, по интегральному признаку Коши, даже добавление логарифма в знаменатель не помогло гармоническому ряду стать расходящимсясходящимся. И ничто ему не поможет!
