403
правки
Изменения
м
-опечатки
Значит, <tex>\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k</tex> сходится.
2. <tex>q \ne 0</tex>, <tex>q \ne \infty</tex>, <tex>a_n \geq 0</tex>, <tex>b_n \geq 0</tex> <tex> \Rightarrow </tex> <tex>q > 0</tex>.
Подставим в определение предела <tex>\varepsilon = \frac q2</tex>: <tex>\exists N\ \forall n > N: \ q - \varepsilon < \frac{b_n}{a_n} < q + \varepsilon</tex>
Будем руководствоваться тем, что поведение конечного числа слагаемых не влияет на сходимость ряда.
1.1. <tex>q > < 1</tex>. <tex>\exists \varepsilon_0:\ q + \varepsilon_0 < 1</tex>
По определению предела <tex>\exists N\ \forall n > N:\ \frac{a_{n + 1}}{a_n}} < q + \varepsilon_0</tex>
Випишем эти неравенства с <tex>n \in [N; m]</tex> и перемножим их:
