436
правок
Изменения
м
'''Сделай, чтобы знаменатель был не под знаком интеграла, а под всем интегралом'''
small changes
|about=о гигантской компоненте
|statement=Рассмотрим модель <tex>G(n, p)</tex>. Пусть <tex>p = \dfrac{ c }{n}</tex>.
Если <tex>c < 1</tex>, то найдется такая константа <tex>\beta = \beta(с)</tex>, зависящая от <tex>c</tex>, что а.п.н. '''Стоит сделать сноску или расшифровать хотя бы раз''' (асимптотически почти наверное) размер каждой связной компоненты случайного графа не превосходит <tex>\beta \ln n</tex>.Если же <tex>c > 1</tex>, то найдется такая константа <tex>\gamma = \gamma(c)</tex>, '''получается, что бета и гамма - не константы, а функции зависящая от с? не очень понятно<tex>c</tex>, что ты имеешь ввиду''' что а.п.н. в случайном графе есть ровно одна компонента размера <tex>\geq\gamma n</tex>. Размер остальных компонент не превосходит <tex>\beta \ln n</tex>.
|proof=
Приведем здесь идеи<ref>Введение в математическое моделирование транспортных потоков: Учебное пособие/Издание 2-е, испр. и доп. А. В. Гасников и др. Под ред. А. В. Гасникова.{{---}} М.: МЦНМО, 2013 {{---}} C.330-339 {{---}} ISBN 978-5-4439-0040-7</ref>, изложенные А.М. Райгородским, основанные на доказательстве<ref>Karp R. The transitive closure of a random digraph//Random structures and algorithms. 1990. V. 1. P. 73–94.</ref> Р. Карпа. Данное доказательство не настолько строгое, как приведенное Такой формат позволит понять основные идеи и логику данного доказательства. Строгий вариант приведен в <ref name="trueproof">Алон Н., Спенсер Дж. Вероятностный метод. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2007.</ref>, однакоотличается лаконичностью и наглядностью.
'''Случай <tex>c < 1</tex>'''.
<tex>P_{n, p}(\exists v_1 : Y_{t_0} > 0) \rightarrow 0, n \rightarrow \infty</tex>
Поскольку <tex>P_{n, p}(\exists v_1 : Y_{t_0} > 0) \le nP_{n, p}(Y_{t_0} \ge 0)</tex>, '''Почему?'''достаточно найти такое <tex>\beta</tex>, при котором
<tex>P_{n, p}(Y_{t_0} > 0) = o\left(\dfrac{1}{n}\right).</tex>
<tex>P_{n, p}(Y_{t_0} > 0) = P_{n, p}(\xi_{t_o} > t_0) \thickapprox P_{n, p}(Binom(n, 1 - (1 - p)^{t_0}) > t_0) \thickapprox</tex><br>
(с учетом асимптотики <tex>1 - (1 - p)^{t_0} \thicksim pt_0) </tex><br>
<tex>\thickapprox P_{n, p}(Binom(n, pt_0) > t_0) \thickapprox</tex><br> '''Что такое Binom? почему примерно оно так преобразуется?'''
(с учетом центральной предельной теоремы) <br>
<tex> \thickapprox \int\limits_{\frac{t_0 - npt_0}{\sqrt{npt_0(1 - pt_0)}}}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx</tex>.
Поскольку <tex>c < 1</tex>, нижний предел интегрирования имеет порядок <tex>\sqrt{t_0}</tex>. Таким образом, весь интеграл не превосходит величины
<tex>e^{−\delta t_0}</tex>. Выберем <tex>\beta</tex> таким, чтобы <tex>e^{−\delta t_0}</tex> оказалось меньше, чем
<tex>e^{-2 \ln n} = \dfrac{1}{n^2}</tex>, и в случае <tex>c < 1</tex> теорема доказана. '''Прикольно было бы узнать порядок b'''<br>
<br>
