315
правок
Изменения
Нет описания правки
Очевидно, это верно и для <tex>x=0</tex>.
}}
{{Определение
|definition=
Нормой ограниченного оператора <tex>\left \| A \right \|</tex> является <tex>\sup \limits_{\left \| x \right \| \le 1} \left \| Ax \right \|</tex>.}}
{{TODO| t = следующие три строчки — ваще какое-то наркоманство. кто-нибудь, позязя, поясните это.}}<br>
<tex>x \ne 0, z = \frac {x}{\left \| x \right \|}, \left \| z \right \| = 1</tex><br>
<tex>\left \| Az \right \| \le \left \| A \right \|</tex><br>
<tex>Az = \frac {Ax}{\left \| x \right \|}, \left \| Ax \right \| \le \left \| A \right \| \left \| x \right \|, \forall x \in X</tex><br><br>
<tex>\left \| A \right \|</tex> удовлетворяет стандартным трём аксиомам нормы:<br><br>
1) <tex>\left \| A \right \| \ge 0, \left \| A \right \| = 0 \Longleftrightarrow A = 0</tex><br>
2) <tex>\left \| \alpha A \right \| = \left | \alpha \right | \left \| A \right \|</tex><br>
3) <tex>\left \| A + B \right \| \le \left \| A \right \| + \left \| B \right \|</tex><br><br>
Действия с операторами производятся стандартным образом, поточечно. Пример — сложение операторов:<br>
Рассмотрим x, такой, что <tex>\left \| x \right \| \le 1. \left \| \left ( A + B \right ) \left ( x \right ) \right \| \le \left \|Ax \right \| + \left \| Bx \right \| \le \left \| A \right \| + \left \| B \right \|, \forall x \le 1 </tex>
