Изменения

Рассмотрим функцию <math>\,g(x)=f(x)-C.Поскольку отрезок </mathtex> Она непрерывна на отрезке <math>\,[a,; b]</mathtex> и <math>\{{---}} связное множество,g(a)<0</math>значит, его образ <mathtex>\,gf(b)>0.</math> Покажем, что существует такая точка <math>\,c\in [a,; b]) </mathtex>, что <math>\,g(c)=0при непрерывном отображении связен.</math> Разделим отрезок <math>\,[a,b]</math> точкой <math>\,x_0</math> По свойству связных на два равных по длине отрезка, тогда либо <mathtex>\,g(x_0)=0R </math> и нужная точка <mathtex>\множеств,c=x_0так как </mathtex> найденаA, либо <math>g(x_0)B \neq 0</math> и тогда на концах одного из полученных промежутков функция <math>\,g(x)</math> принимает значения разных знаковin f(на левом конце меньше нуля, на правом больше). Обозначив полученный отрезок <math>\,[a_1,b_1a; b]) </mathtex>, разделим его снова на два равных по длине отрезка то и т.д. Тогда, либо через конечное число шагов придем к искомой точке <math>\,c</mathtex>, либо получим последовательность [[Отрезок#Стягивающаяся система сегментов|вложенных отрезков]A; B] <math>\,in f([a_n,b_na; b]) </math> по длине стремящихся к нулю и таких, что  <mathtex>\,g(a_n)<0<g(b_n).</math> Пусть <math>\Значит,c</math> - общая точка всех отрезков для любого <mathtex>D \,in [a_n,b_nA; B]</math>, <math>\,n=1,2,...</math> Тогда <math>c=\lim a_n=\lim b_n,</math> и в силу непрерывности функции <math>\,g(x):</math> <math>g(c)=\lim g(a_n)=\lim g(b_n).</mathtex> Посколькусоответствующий прообраз <mathtex>\lim g(a_n)\le 0\le \lim g(b_n),d </math>получим, что <mathtex>\,g(c)=0найдется.</math>