689
правок
Изменения
м
мелкие исправления
Из арифметики пределов функций хорошо известно равенство:
<tex>\lim \limits_{x \to a} \sum \limits_{k = 0}^{n} f_k(x) = \sum\limits_{k = 0}^{n} \lim \limits_{x \to a} f_k(x)</tex>.
Возникает вопрос, правда ли, что
<tex>\lim\limits_{x \to a} \sum\limits_{k = 0}^{\infty} f_k(x) = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \lim\limits_{x \to a} f_k(x)</tex>?
Обсуждаемое равенство {{---}} частный случай важного вопроса матанализа, имеющий отношение к перестановке местами
двух операций предельного перехода, что коротко записывается так:
<tex>\lim \limits_{x \to a} \lim \limits_{y \to b} f(x,y) = \lim \limits_{y \to b} \lim \limits_{x \to a} f(x,y)</tex>
В общем случае это не так. Реанимируем пример, описанный выше и убедимся, что написанное неравенство не верно.
[[file:picture1.png|300px]]
|statement=
Пусть на множестве <tex>E</tex> заданы функции <tex>f_n</tex>, <tex>a</tex> {{---}} предельная точка этого множества и
<tex>\forall n \in \mathbb{N} \exists \ \lim \limits_{x \to a} f_n(ax)</tex>. Тогда если <tex>\sum \limits_{n = 0}^{\infty} f_n</tex> - равномерно
сходится на <tex>E</tex>, то выполняется равенство :
<tex>\lim \limits_{x \to a} \sum \limits_{n = 0}^{\infty} f_n(x) = \sum \limits_{n = 0}^{\infty} \lim\limits_{x \to a} f_n(x)</tex>
конечное число слагаемых, то по арифметике пределов можно перейти к пределу при
<tex>x \to a \Rightarrow |\sum \limits_{k = n}^{m} A_k| < \varepsilon</tex>. Здесь <tex>\varepsilon</tex> - произвольно, следовательно по критерию Коши
сходимости числового ряда, этот ряд сходится, поэтому осталось доказать только предыдущее соотношение.Докажем теперь равенство из условия. Для этого будем использовать введеное ранее понятие остатка ряда, которое без изменения переносится на сходящиеся
функциональные ряды.
Надо доказать, что <tex>\lim \limits_{x \to a} f(x) = A</tex>. Составляем модуль разности : <tex>|f(x) - A| = </tex>
вставляем остатки <tex>= |S_n(x) + R_n(x) - S_n - R_n| \le |S_n(x) - S_n| + |R_n(x) - | + |R_n|</tex>
В силу сходимости ряда из пределов <tex>R_n \to 0</tex>, а в силу равномерной сходимости функционального ряда
<tex>R_n (x) \stackrel{E}{\rightrightarrows} 0</tex>. Отсюда ясно, что <tex>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N : \forall n > N \quad \forall x \in E \Rightarrow |R_n| < \varepsilon , \quad |R_n(x) | < \varepsilon|</tex>.
Тогда из предыдущего неравенства, подставляя туда <tex>n_0 = N + 1</tex>,
получаем : <tex>|f(x) - A| \le |S_{n_0}(x) - S_{n_0}| + 2\varepsilon</tex>. Первое слагамое справа состоит из конечного
<tex>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 : 0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - A| < 3\varepsilon</tex>.
Поэтому по определению предела все установлено.
}}
Следствие из этой теоремы:
{{Утверждение
|statement=
Равномерно сходящийся на <tex> [a; b] </tex> ряд из непрерывных на этом отрезке функций непрерывен на <tex> [a; b] </tex>.
|proof=
Можно применить только что доказанную теорему к каждой точке <tex> x_0 </tex> из <tex> [a; b] </tex>, полагая <tex> A_n = f_n(x_0) </tex>.
}}
== Пункт 2. Коммутируемость суммы и интеграла ==
В этом пункте будет приведено условие , при котором можно записать : <tex>\int\limits_{a}^{b} \sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_{n}(x)dx = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \int\limits_{a}^{b} f_{n}(x)dx</tex>
Заметим, что для суммы конечного числа слагаемых это утверждение верно по линейности интеграла.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>f_{n} \stackrel{[a, b]}{\rightrightarrows} </tex> интегрируема и равномерно сходится к <tex> f, f_{n} \in \mathcal{R}\left </tex> на <tex> [a,; b \right ] \Rightarrow</tex>. Тогда <tex> f \in \mathcal{R}\left [a</tex> тоже интегрируема,b \right ] и <tex> \lim \limits_{n \to \infty} \int\limits_{a}^{b} f_{n} = \int\limits_{a}^{b}f </tex>.
|proof=
1) Прежде всего , установим интегрируемость <tex>f</tex>. Для этого необходимо проверить <tex>w(f, \tau) \to 0</tex> при <tex>\operatorname{rang} \tau \to 0</tex>.
По определению, <tex>w(g, [c, d]) = \sup\limits_{x',x'' \in [c,d]} |g(x'') - g(x')|</tex>
В этом неравенстве справа число, переменная есть только слева, поэтому можно перейти к <tex>\sup</tex> по <tex>x', x''</tex>, что
приводит к неравенству :
<tex>w(f, [x_k, x_{k+1}]) \le w(f_n, [x_k, x_{k+1}]) + 2\varepsilon</tex>. Это неравенство верно для любого текущего отрезка, лишь бы
выполнялось, что <tex>n > N</tex>. Домножим каждое на <tex>\Delta x_k</tex> и сложим :
Подставив в это неравенство <tex>n_0 = N+1</tex>, получим :
<tex>w(f, \tau) \le w(f_{n_0}, \tau) + 2(b - a)\varepsilon</tex>, функция <tex>f_{n_0} \in \mathcal{R}\left( a, b \right)</tex>.
Неравенство выполняется для любого <tex>\tau</tex>, значит для уже существующего разбиения: <tex>\forall \varepsilon ~~ > 0\ \exists \delta > 0 :
\operatorname{rang} \tau < \delta \Rightarrow w(f_{n_0} < \varepsilon) \Rightarrow w(f, \tau) < (1 + 2(b - a))\varepsilon</tex>. Здесь
<tex>\varepsilon</tex> - произвольно, отсюда <tex>w(f, \tau) \to 0</tex> при <tex> \operatorname{rang} \tau \to 0</tex>. Значит, <tex>f \in \mathcal{R}\left ( a, b \right)</tex>.
2) В силу <tex>f_{n} \stackrel{[a, b]}{\rightrightarrows} f \quad \forall \varepsilon > 0 \quad \exists N : \forall n > N
и \forall x \in [a, b] \quad |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon</tex>
Все функции интегрируемы, в силу этого факта и линейности интеграла можно писать следующее :
<tex>|\int\limits_{a}^{b} f_n(x) dx - \int\limits_{a}^{b} f(x) dx| = |\int\limits_{a}^{b} (f_n(x) - f(x))dx| \le \int\limits_{a}^{b} |f_n(x) - f(x)| dx \le
}}
Следствие из этой теоремы:
{{Утверждение
|statement =
Пусть функциональный ряд состоит из <tex>f_n \in \mathcal{R}\left[ a, b \right ]</tex> и равномерно сходится на этом отрезке, тогда .Тогда сумма ряда будет интегрируемой функцией., и будет выполняться:
<tex>\int\limits_{a}^{b} \sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_{n}(x)dx =
{{Теорема
|statement=
Пусть на <tex> (a, b) </tex> задан функциональный ряд <tex>\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n</tex>. Пусть , <tex>\forall c \in \langle a, b \rangle, \sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n(c)</tex> - сходится. Пусть также <tex>\exists f_n'</tex> - непрерывная непрерывна на <tex>\langle a, b \rangle</tex> и
<tex>\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n'</tex> - равномерно сходится на <tex>\langle a, b\rangle</tex>, тогда на <tex>\langle a, b \rangle</tex> выполняется :
<tex>(\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n(x))' = \sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n'(x)</tex>.
|proof=
Пусть <tex>g(x) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n'(x)</tex>. Ряд из <tex>f_n'</tex> - равномерно сходится, следовательно <tex>g</tex>непрерывна на <tex>\langle a, b \rangle </tex>, тогда по теореме о почленном интегрировании функцию можно записать в виде :
Ряд из <tex>f_n'</tex> - равномерно сходится, следовательно <tex>g</tex> непрерывна на <tex>\langle a, b \rangle </tex>, тогда по теореме о почленном интегрировании функцию можно записать в виде : <tex>\int\limits_{c}^{x}g(t)dt = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \int\limits_{c}^{x}f_n'(t)dt = \sum\limits_{n=1}^{\infty}(f_n(x)-f_n(c))</tex>
Так как <tex>\sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n(c)</tex> - сходится, а <tex>\sum\limits_{n = 1}^{\infty}(f_n(x) - f_n(c))</tex> -
сходится по последнему равенству, то по линейности рядов , записав <tex>f_n(x)=(f_n(x) - f_n(c)) + f_n(c)</tex>, получим, что
<tex>\sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n(x)</tex> - сходится. Для всех <tex>f(x)</tex> получаем
<tex>\int\limits_{c}^{x}g(t)dt = f(x)-\sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n(c)</tex>
Функция слева дифференцируема, тогда , по теореме Барроу, значит производная есть у функции справа : <tex>g(x) = f'(x)</tex>, что совпадает с тем, что надо было доказать.
}}
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
