Adaptive precision arithmetic

Эта статья находится в разработке!

Мотивация

Все вычисления, производимые компьютером во floating-point[1] модели, имеют погрешность. При большом количестве арифметических действий она возрастает. Во многих случаях результирующая погрешность уже не устраивает, и требуется либо абсолютно точное вычисление, либо меньшая погрешность. Одним из решений данной проблемы является хранение чисел в виде рациональных дробей, в которых числитель и знаменатель представляется в виде длинного целого числа. Но работать с такими числами довольно "дорого" по времени и тяжело в реализации: необходимо писать факторизацию чисел, эффективно сокращать дроби. Для улучшения работы нужны определенные оптимизации. Одной из них и является использование adaptive precision arithmetic.

Background

Большинство современных процессоров поддерживают числа с плавающей точкой в форме [math] \pm significand \times 2^{exponent}[/math]. Значащая часть числа (мантисса) представляет собой [math]p[/math]-битное двоичное число в форме [math]b.bbb \dots[/math], где каждое [math]b[/math] обозначает один бит. Также имеется один бит на знак.

Числа с плавающей точкой, как правило, нормализованы, то есть если число не равно нулю, то первый значимый бит равен единице, а экспонента устанавливается соответственно. Например, в [math]p[/math]-битной арифметике число 1101 (десятичное 13) будет выглядеть как [math]1.101 \times 2^3[/math].

Базовые понятия

Расширения

Определение:

Два числа [math]x[/math] и [math]y[/math] называются неперекрывающимися (англ. nonoverlapping), если номер наименьшего значимого бита числа [math]x[/math] (нумерация справа налево) больше, чем номер наибольшего значимого бита числа [math]y[/math], или наоборот.

Более формально, [math]x[/math] и [math]y[/math] не перекрываются, если существует такое целое число [math]r[/math] и [math]s[/math], что [math]x = r2^s[/math] и [math]|y| \lt 2^s[/math], или [math]y = r2^s[/math] и [math]|x| \lt 2^s[/math].

Ноль не пересекается ни с одним другим числом.

Например, числа 1100 и -10.1 не пересекаются, а 101 и 10 - пересекаются.

Иногда для использовании точной арифметики может понадобиться больше, чем [math]p[/math] бит для хранения величин. В связи с этим вводится одно из базовых форм хранения чисел для такой арифметики.

Определение:

Расширением числа [math]x[/math] называется такое его представление [math]x = x_n + x_{n-1} + \dots + x_1[/math], где каждое [math]x_i[/math] выражено [math]p[/math]-битным числом с плавающей точкой и называется компонентой этого расширения.

Определение:

Расширение называется неперекрывающимся, если все его компоненты взаимно не перекрываются.

Как правило, расширения должны быть неперекрывающимися, а их компоненты должны быть упорядочены от большей к меньшей по величине (то есть [math]x_n[/math] - большая). Далее будут рассматриваться именно такая их форма.

Стоит отметить, что число может быть представлено несколькими возможными неперекрывающимися расширениями: 1100 + -10.1 = 1001 + 0.1 = 1000 + 1 + 0.1.

Неперекрывающиеся расширения нужны, например, для того, чтобы быстро вычислять знак выражения (смотрим знак большей по размеру компоненты), или для грубой оценки значения всего расширения (берем большую по величине компоненту).

Округление

Все алгоритмы, представленные в этой статье, предполагают, что сложение, вычитание и умножение производятся с точным округлением. Предполагается, что числа представляются в [math]p[/math] битах.

Определение:

Точное округление (англ. exact rounding) - такой вид округления, что: если точный результат может быть представлен в [math]p[/math] битах, то результатом округления будет точное значение числа; если точный результат не может быть представлен в [math]p[/math] битах, то результатом округления будет ближайшее [math]p[/math]-битное значение.

Например, в 4-битной арифметике произведение [math]111 \times 101 = 100011[/math] будет округлено в [math]1.001 \times 2^5[/math].

При вычислении результата может возникнуть ситуация, когда значение попадает в точности между двумя соседними [math]p[/math]-битными значениями. Тогда требуется определить правило поведения в таком случае. Рассмотрим некоторые из них.

Определение:

Округление до ближайшего четного (англ. round-to-even) - правило, при котором округление в вышеописанном случае производится к ближайшему [math]p[/math]-битному четному значению.

Определение:

Округление к нулю (англ. round-toward-zero) - правило, при котором округление в вышеописанном случае производится [math]p[/math]-битному значению, находящемуся между точным значением и нулем, а также ближайшему к точному значению.