Классические теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега
Теорема Лебега
| Теорема (Лебег, о мажорируемой сходимости): |
Пусть на E \subset X задана последовательность измеримых функций f_n, таких, что |
| Доказательство: |
| Из сходимости по мере по теореме Риса выделим сходящуюся подпоследовательность f_{n_k}. |
\left| \int\limits_E f_n - \int\limits_E f \right| = \int\limits_E |f_n - f| = \int\limits_Шаблон:A \varepsilon |f_n - f| + \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} |f_n - f|
\int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} |f_n - f| \le \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} 2 \varphi < 2 \varepsilon (по выбору A_\varepsilon)
A_{\varepsilon} — хорошее, следовательно, \mu A_{\varepsilon} < + \infty, |\varphi(x)| \le M на A_\varepsilon, |f_n| \le \varphi \le M на A_\varepsilon, аналогично, f.
Тем самым, \int\limits_Шаблон:A \varepsilon |f_n - f| удовлетворяет теореме Лебега о предельном переходе под знаком опредленного интеграла, следовательно, \int\limits_Шаблон:A \varepsilon \rightarrow (n \to \infty) 0. Тогда и \int\limits_E |f_n - f| \rightarrow (n \to \infty) 0, что и требовалось доказать. }}
Примечание: Так как на множестве конечной меры их сходимости почти всюду вытекает сходимость по мере, то теорему Лебега можно было формулировать для сходимости почти всюду.
\forall \varepsilon > 0
\int\limits_E \int\limits_E \int\limits_E \int\limits_E \int\limits_E \int\limits_E \int\limits_E
