Подгруппа

Эта статья требует доработки!

1. Необходимо привести примеры групп и их подгрупп (примеров надо несколько, так как подгруппа это очень важное понятие). (исправленно)
2. Так же сюда, видимо, стоит перенести статью про нормальные подгруппы и тут же привести примеры нормальных и не нормальных подгрупп.

Если Вы исправили некоторые из указанных выше замечаний, просьба дописать в начало соответствующего пункта (Исправлено).

Определение:

Если непустое подмножество [math]H[/math] элементов группы [math]G[/math] оказывается замкнутым относительно групповой операции и операции взятия обратного элемента, то [math]H[/math] образует группу и называется подгруппой группы [math]G[/math]: [math]\forall a,b\in H\subseteq G : a\cdot b\in H[/math] [math]\forall a\in H : a^{-1}\in H[/math] [math]\exists a\in H \Rightarrow e=a\cdot a^{-1} \in H[/math]

Примеры

• Подмножество [math]n\mathbb{Z}=\{nm\vert m\in\mathbb{Z}\}[/math] является подгруппой в [math]\mathbb{Z}[/math] для любого [math]n\in\mathbb{N}[/math] относительно операции сложения.
• Группа [math]G=\{m\vert m\in\mathbb{Z}\[/math], [math]m[/math] [math]mod[/math] [math]5=0\}[/math] является подгруппой в [math]\mathbb{Z}[/math].

Свойства

• Все подгруппы циклической группы являются циклическими.

Нормальные подгруппы

Определение:

Подгруппа [math]H[/math] группы [math]G[/math] называется нормальной подгруппой, если для любых [math]x\in G[/math] выполнено [math]xHx^{-1}=H[/math]. Т.е.: [math]\forall x\in G,\,\forall h\in H : x\cdot h\cdot x^{-1}\in H[/math]

Примеры

• примером нормальной подгруппы могут служить любая подгруппа любой абелевой группы
• примером не нормальной подгруппы может служить подгруппа p[math]=\{1[/math], [math](2[/math] [math]3)\}[/math] всех перестановок группы X[math]=\{1[/math] [math]2[/math] [math]3\}[/math]