Метрические пространства

Эта статья находится в разработке!

Определение:

Для некоторого множества [math]X[/math], отображение [math] \rho : X \times X \rightarrow \mathbb{R^+} [/math] — называется метрикой на [math]X[/math], если выполняются аксиомы [math] \rho (x, y) \ge 0 ;\ \rho (x, y) = 0 \iff x = y [/math] [math] \rho (x, y) = \rho (y, x) [/math] [math] \rho (x, y) \le \rho (x, z) + \rho (z, y) [/math] — неравенство треугольника Пару [math](X, \rho)[/math] называют метрическим пространством.

Определение:

Последовательность [math]x_n[/math] сходится к [math]x[/math] в МП [math](X, \rho)[/math] (записывают [math] x = \lim\limits_{n \to \infty} x_n[/math]), если [math] \rho(x_n, x) \xrightarrow[n \to \infty]{} 0[/math]

Некоторые примеры метрических пространств:

• [math]X = \mathbb{R}, \rho(x, y) = | x - y |[/math]111
• [math]X = \mathbb{R}^n, \rho(\overline x, \overline y) = \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}[/math]
• [math]X = \mathbb{R}^{\infty}[/math]. Превращение в МП должно быть связано с желаемой операцией предельного перехода. В случае конечномерного пространства сходимость совпадает с покоординатной сходимостью, хотим того же самого для бесконечномерного. Введем метрику: [math]\rho(\overline x, \overline y) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} {1 \over 2^n}{|x_n - y_n| \over 1 + |x_n - y_n|}[/math] (TODO: как она называется, кстати?). Проверим, что эта метрика удовлетворяет аксиомам:
  • этот ряд всегда сходящийся, так как мажорируется убывающей геометрической прогрессией [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} = 1[/math], соответственно, расстояние ограничено единицей.
  • первая аксиома: неотрицательность очевидна, равенство метрики нулю в обе стороны очевидно
  • вторая аксиома: еще очевиднее
  • третья аксиома: рассмотрим [math]f(t) = {t \over 1 + t}[/math]. Так как [math]f[/math] выпукла вверх, [math]f(t_1 + t_2) \le f(t_1) + f(t_2)[/math], то есть все три аксиомы выполняются. TODO: ШТО? Почему?( Откуда это неравенство и как из этого следует выполнение аксиомы?

  Сходимость в этой метрике эквивалентна покоординатной (TODO: почему?).

• В любом пространстве [math]X[/math] можно ввести дискретную метрику: [math]\rho(x, y) = \begin{cases} 0; & x = y \\ 1; & x \ne y \end{cases}[/math]. Заметим, что в дискретной метрике сходятся только стационарные последовательности.
• [math]X = \mathbb{R}^{\mathbb{I}}[/math], то есть множество всех функций из [math][0; 1][/math] в [math]\mathbb{R}[/math]. Это пространство не метризуется, то есть не существует метрики, в которой сходимость эквивалентна поточечной (TODO: почему??)

Центральную роль в изучении МП играют шары:

Определение:

Открытым шаром в МП [math](X, \rho)[/math] с радиусом [math]r[/math] и центром в [math]a[/math] называют множество [math]V_r(a) = \{ x \mid \rho(x, a) \lt r \} [/math]. В определении замкнутого шара знак [math]\lt [/math] заменяется на [math]\le[/math].

На базе этих множеств можно МП превратить в ТП.

Определение:

Для некоторого множества [math]X[/math], класс множеств [math]\tau[/math] называется топологией, если: [math] X, \emptyset \in \tau[/math] Любое объединение (возможно, несчетное) [math]\bigcup\limits_{\alpha} G_{\alpha}[/math] из [math]\tau[/math] принадлежит [math]\tau[/math] Любое конечное пересечение [math]\bigcap\limits_{i=1}^{n} G_i[/math] из [math]\tau[/math] принадлежит [math]\tau[/math] Пару [math](X, \tau)[/math] называют топологическим пространством. Множества, принадлежащие [math]\tau[/math] называются открытыми. (по Хаусдорфу ???). Замкнутыми называются множества-дополнения к множествам из [math]\tau[/math].

Определение:

Рассмотрим множество [math]A \subset X[/math]. Внутренностью (interior) множества [math]A[/math] называется множество [math]\mathrm{Int} A = \bigcup\limits_{G \subset A} G[/math], где [math] G [/math] — открытые множества. Замыкание (closure) множества [math]A[/math] называется множество [math]\mathrm{Cl} A = \bigcap\limits_{A \subset F } F[/math], где [math] F [/math] — замкнутые множества. Границей (boundary, frontier) множества [math]A[/math] называется множество [math]\mathrm{Fr} A = \mathrm{Cl} A \setminus \mathrm{Int} A[/math].

ВНИМАНИЕ, ВИКИТЕХ <wikitex>

Определение:

Точка $x$ называется пределом последовательности $x_n$ в топологическом пространстве $(X, \tau)$, если $\forall G \ni x \exists N \forall n > N: x_n \in G$, то есть любое открытое множество, содержащее предел, также содержит все точки последовательности кроме конечного числа.

Определение:

Множество $U$ называет окрестностью в ТП, если существует открытое $G$: $x \in G \subset U$.

Определение:

Отображение $f: (X, \tau_1) \to (Y, \tau_2)$ называют непрерывным в точке $x \in X$, если для любой окрестности $U_{f(x)}$ существует окрестность $U_x$: $f(U_x) \subset U_{f(x)}$.

Характеристика непрерывных отображений ТП: $f$ непрерывно тогда и только тогда, когда для любого $G' \in \tau_2: f^{-1}(G') \in \tau_1$, то есть прообраз любого открытого множества также открыт. (TODO: в конспекте только в прямую сторону, но вообще вроде это критерий. Док-во есть в Колмогорове, элементы теории функции и функана, 6 издание, страница 107)

Рассмотрим МП $(X, \rho)$, выделим в семейство открытых множеств множества, являющимися объединениями любого (TODO счетного/несчетного??) числа открытых шаров. Покажем, что это удовлетворяет аксиомам ТП:

1. Очевидно (видимо, $X = \bigcup\limits_{i=1}^{\infty}U_i(x)$, где $x$ — любая точка $X$ если оно непустое, а если пустое, то просто не будем брать ни одного множества)
2. Очевидно (TODO: а по-моему, не очень очевидно, как показать, что несчетное объединение несчетных/счетных объединений шаров — просто несчетное объединение шаров?)
3. Докажем для пересечения двух, дальше по индукции:

   $G_1 \bigcap G_2 = (\bigcup V') \bigcap (\bigcup V) = \bigcup (V' \bigcap V)$. (TODO: интересно, почему можно так сделать)

   Рассмотрим $V' \bigcap V$: $\forall x \in V' \bigcap V \exists V(x) \subset V' \bigcap V$ (раньше когда-то доказывали), тогда $V' \bigcap V = \bigcup\limits_{x \in V' \cap V} V(x)$ (TODO: опять же, интересно, почему счетное/несчетное объединение несчетного числа шаров — счетное/несчетное объединение шаров)

В данном случае открытые множества были получены объединением открытых шаров — множеств более узкого класса. Это один из общих приемов превращения произвольного пространства в топологическое, открытые шары здесь — база топологии.

Определение:

Базой топологии называют... TODO пщщ в конспекте какая-то хрень

Утверждение:

$\mathrm{Cl} A = \{ x \mid \rho(x, A) = 0 \}$, где $\rho(x, A) = \inf\limits_{a \in A} \rho(x, y)$.

[math]\triangleright[/math]

TODO: какое-то странное вспомогательное утверждение про непрерывность TODO: ааа, ниче не понятно. Кажется, доказательство через включение в обе стороны.

[math]\triangleleft[/math]

Замечание: заметим, что в общем случае в топологических пространствах замыкания не определяются через предел последовательности, в этом смысле метрические пространства удобны.

Метрические пространства удовлетворяют свойству нормальности:

Утверждение (нормальность МП):

Любое МП - нормальное, то есть любые два непересекающихся замкнутых подмножества имеют непересекающиеся окрестности.

[math]\triangleright[/math]

(скопировано из первого курса, в Колмогорове на странице 112 есть доказательство поприятнее и поинтуитивнее) $ f(x) = \frac {\rho(x, F_1)} {\rho(x, F_1) + \rho(x, F_2)} $. Т.к. $ F_1 \cap F_2 = \varnothing $ и $ F_1, F_2 $ - замкнуты, то знаменатель не равен 0. Следовательно, $ f(x) $ корректна и непрерывна в силу непрерывности $ \rho $. При этом: $ x \in F_1 \Rightarrow f(x) = 0; x \in F_2: f(x) = 1 $. Рассмотрим на R пару интервалов: $ (- \infty; \frac 1 3) $ и $ (\frac 1 2, + \infty) $. Т.к. $ f(x) $ неперывна, то прообраз открытого множества - открытое множество (это другое определение непрерывного отображения, оно почти эквивалентно тому, которое было дано ранее). $ G_1 = f^{-1} ( - \infty; \frac 1 3); G_2 = f^{-1}(\frac 1 2, + \infty) $ $ F_1 \in G_1; F_2 \in G_2; G_1 \cap G_2 = \varnothing $, ч.т.д.

[math]\triangleleft[/math]

Следствие: так как одноточечные подмножества в МП являются замкнутыми, МП удовлетворяют аксиоме отделимости Хаусдорфа: любые две различные точки можно отделить открытыми шарами. (TODO: вообще в аксиоме говорится про окрестности, а не шары, важно ли это?)

Определение:

МП $(X, \rho)$ называется полным, если в нем любая сходящаяся в себе последовательность сходится.

Утверждение (принцип вложенных шаров):

Пусть $(X, \rho)$ — полное. $\overline V_n$ — замкнутые шары. $\overline V_{n + 1} \subset \overline V_n$, $r_n \to 0$. Тогда $\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \overline V_n \ne \emptyset$, и является точкой.

[math]\triangleright[/math]

Пусть $a_n$ — центр соответствующего шара, тогда из вложенности $\forall m > n: \rho(a_n, a_m) < r_n$, то есть последовательность центров сходится в себе, так как $r_n \to 0$. Тогда по полноте последовательность центров сходится к $a$, множество $\{a\}$ и есть искомое перечечение. TODO: интересно, а почему важна замкнутость?

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

$A$ всюду плотно в $(X, \rho)$, если $\mathrm{Cl} A = X$ Например, $\mathbb{Q}$ всюду плотно в $\mathbb{R}$, так как $\mathrm{Cl} \mathbb{Q} = \mathbb{R}$ (TODO:ох, что бы это значило. Видимо, что множество действительных чисел строится включением пределов последовательностей рациональных.) Если всюду плотное множество счетно, то пространство называют сепарабельным. $A$ нигде не плотно в $(X, \rho)$, если $\mathrm{Int} \mathrm{Cl} A = \emptyset$. В смысле метрических пространств это значит, что в любом шаре есть шар, не содержащий точек $A$. Например, $\mathbb{Z}$ нигде не плотно в $\mathbb{R}$.

Определение:

Подмножество $A$ топологического пространства $X$ имеет I категорию по Бэру в пространстве $X$ если оно является не более чем счетным объединением нигде не плотных в $X$ множеств. В противном случае оно имеет II категорию по Бэру.

Теорема (Бэр):

Полное МП является множеством II категории в себе.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть $X$ — полное и является множеством I категории, то есть представимо как $\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} M_n$, где $M_n$ — нигде не плотно в $X$. Возьмем замкнутый шар $\overline V_0$, например, радиуса 1. Как как $M_1$ нигде не плотно в $X$, оно также нигде не плотно в $\overline V_0$, а, значит, существует замкнутый шар $\overline V_1$ радиуса меньше $1 \over 2$, содержащийся в $\overline V_0$ и не пересекающийся с $M_1$ ($M_1 \cap \overline V_1 = \emptyset$). Аналогично, $M_2$ нигде не плотно в $\overline V_1$, и так далее действуя таким образом, построим систему вложенных замкнутых шаров ($\overline V_{n+1} \subset \overline V_n$) со стремящимся к нулю радиусом. В силу теоремы о вложенных шарах пересечение этих шаров должно содержать какую-то точку $x$, но эта точка не может лежать ни в одном из множеств $M_n$ по построению, то есть получили противоречие и $X$ не является множеством первой категории.

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение (следствие из т. Бэра):

Полное МП без изолированных точек несчетно.

[math]\triangleright[/math]

Пусть $(X, \rho)$ — МП без изолированных точек (то есть в любой окрестности любой точки найдутся точки, отличные от нее). Пусть $X$ — счетно, то есть можно занумеровать его элементы как $\{ x_1 \dots x_n \dots \}$ и представить $X$ как $\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \{ x_n \}$. Но одноточечные множества нигде не плотны в $X$, тогда оно является множеством I категории, что противоречит теореме Бэра. Следовательно, $X$ должно быть несчетно.

[math]\triangleleft[/math]

Это следствие объясняет природу несчетности вещественной оси. (TODO: Што? Как?)

Определение:

Замкнутое $K \subset X$ называют компактом, если из любой последовательности точек в $K$ можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Определение:

$A \subset X$ называют вполне ограниченным, если для него при любом $\varepsilon$ существует конечная $\varepsilon$-сеть, то есть $\forall \varepsilon > 0 \exists x_1, x_2 \dots x_n: A \subset \bigcup\limits_{i=1}^n V_{\varepsilon}(x_i)$.

Теорема (Хаусдорф):

В полном метрическом пространстве множество является компактом тогда и только тогда, когда оно замкнуто и вполне ограничено.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

на лекции не было, видимо, было на 1 курсе тут Теорема_Хаусдорфа_об_ε-сетях

[math]\triangleleft[/math]

Пример: $R^{\infty}$ — полное, так как метрика индуцирует покоординатную сходимость. TODO: пшшш какая-то хрень про диагональ Кантора.

Утверждение:

$\Pi = [a_1, b_1] \times \dots \times [a_n, b_n] \dots$ — компакт в $R^{\infty}$.

[math]\triangleright[/math]

$\rho(\overline x, \overline y) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} {

[math]\triangleleft[/math]

</wikitex>