Топологические векторные пространства

Эта статья находится в разработке!

<wikitex>

Рассмотрим множество $f: [0, 1] \to \mathbb{R}$. Множество таких функций образуют линейное пространство. Если определять предел в поточечном смысле, операции сложения и умножения на число в этом пространстве непрерывны. Мотивация введения топологических векторных пространств — обобщение этой ситуации на абстрактный случай.

Определение:

Топологическое векторное пространство — линейное пространство, наделенной такой топологией, что операции сложения векторов и умножения на скаляр в ней непрерывны в этой топологии, то есть: непрерывность умножения на скаляр: $\alpha x \to \alpha_0 x_0$, если $\alpha \to \alpha_0$, $x \to x_0$. Означает, что для любой окрестности $U(\alpha_0 x_0)$ существует $ \varepsilon > 0$ и существует $U(x_0):

В ситуации $f: [0, 1] \to \mathbb{R}$, когда предел определен поточечно, если $\forall 0 \le t_1 < \dots < t_n \le 1, \forall \varepsilon_1 \dots \varepsilon_n > 0$ рассмотреть $U_{t_1 \dots t_n} (\varepsilon_1 \dots \varepsilon _n) = \{ f \mid \forall j: |f(t_j)| < \varepsilon_j \}$, объявить их окрестностями нулевой функции — в такой базе окрестности нуля функции будут непрерывны и предел будет поточечным.

Как охарактеризовать векторную топологию? Пусть $X$ — линейное пространство, $A, B \subset X$, тогда определим

• $A + B = \{ a + b \mid a \in A, b \in B\}

$ $\alpha A = \{ \alpha a \mid a \in A \}$ Заметим, что $2 A \subset A + A$, но обратное не верно.

Определение:

$A$ закругленное/уравновешенное, если $\forall \lambda:

Определение:

$A$ поглощает $B$, если $\exists \lambda_0 > 0: \forall \lambda:

Определение:

$A$ радиальное/поглощающее, если оно поглощает любую конечную систему точек. Для проверки радиальности достаточно проверить поглощение каждой конкретной точки.

Определение:

$A$ выпуклое, если $\forall x, y \in A \forall 0 \le \alpha \le 1: \alpha x + \beta y \in A$, то есть множество содержит отрезок, соединяющий любые два его элемента.

TODO: тут какая-то хурма про уравновешенность

Как уравновесить любое множество?

Пусть [math]A \in X[/math] и [math]\varepsilon \gt 0[/math], и [math]A_{\varepsilon} = \bigcup\limits_{|\lambda| \leq \varepsilon} \lambda A[/math]
A - уравновешенное? Проверим это.

Пусть [math]|\mu| \lt 1[/math]. [math]\mu A_{\varepsilon} \subset A_{\varepsilon}[/math]? [math]x \in \mu A_{\varepsilon}[/math]. [math]x = \mu y[/math]. [math]y \in A_{\varepsilon}[/math]. [math]y \in \lambda A[/math]. [math]|\lambda| \le \varepsilon[/math]

[math]y = \lambda z, z \in A[/math]. Тогда [math]x = |\mu \lambda| z[/math], но [math]|\mu \lambda| = |\mu||\lambda| \leq |\lambda| \leq \varepsilon[/math]

Тогда [math]x \in (\mu \lambda) A, |\mu \lambda| \leq \varepsilon \Rightarrow x \in A_{\varepsilon}[/math] что и требовалось доказать.

Теорема (характеристика векторной топологии):

$\tau$ — векторная топология на $X$ тогда и только тогда, когда: $\tau$ инвариантна относительно сдвигов: $\tau + x_0 = \tau$ существует база из радиальных уравновешенных окрестностей нуля $\forall U(0) \exists U_1(0): U_1(0) + U_1(0) \subset U(0)$ TODO: какой сакральный смысл у этого свойства?

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

В прямую сторону: Рассмотрим отображение $x \mapsto x + x_0$, то есть сдвиг на $x_0$. Это отображение взаимно однозначно, следовательно непрерывно, то есть если $G \in \tau$ (открыто), $G + x_0$ также открыто. То есть получили, что векторная топология инвариантна относительно сдвигов. Установим, что можно создать базу окрестностей нуля, составляющую из радиально-уравновешенных множеств. $\lambda x \to 0, x \to 0, \lambda \to 0$, то есть $\forall U(0) \exists \delta > 0, W(0):

[math]\triangleleft[/math]

Любое НП является частным случаем ТВП. Обратное в общем случае неверно, в связи с чем возникает вопрос о том, в каком случае ТВП можно нормировать. Ответ на него дает понятие функционала Минковского.

Определение:

Пусть $X$ — линейное пространство, $M$ — радиальное подмножество, тогда функционал Минковского $p_{\mu}$ определяется как $p_{\mu}(x) = \inf \{ \lambda > 0 \mid x \in \lambda M\}$.

Заметим, что если $M, N$ — радиальны и $M \subset N$, то $p_N(x) \le p_M(x)$.

Пример:

• $X$ — НП, $V_1 = \{ x \mid \|x\| < 1\}, p_{V_1}(x) = \|x\|$, сдедовательно, норма — частный случай функционала Минковского.

Утверждение:

Если $M$ — закругленное радиальное выпуклое множество, $p_M(X)$ — полунорма на $X$.

[math]\triangleright[/math]

$p_M(x + y) \le p_M(x) + p_M(y)$ $\exists \lambda > 0 \exists \lambda_1, \lambda_2: p_M(x) < \lambda_1 < p_M(x) + \varepsilon$, $p_M(y) < \lambda_2 < p_M(y) + \varepsilon$, $x \in \lambda_1 M, y \in \lambda_2 M \Rightarrow {x \over \lambda_1}, {y \over \lambda_2} \in M$. Рассмотрим $\alpha = {\lambda_1 \over \lambda_1 + \lambda_2}, \beta = {\lambda_2 \over \lambda_1 + \lambda_2}$, заметим, что $\alpha + \beta = 1$, из выпуклости получим, что $\alpha {x \over \lambda_1} + \beta {y \over \lambda_2} \in M \Rightarrow {x + y \over \lambda_1 + \lambda_2} \in M \Rightarrow x + y \in (\lambda_1 + \lambda_2) M$, то есть $ p_M(x + y) < \lambda_1 + \lambda_2 < (p_M(x) + p_M(y) + 2 \varepsilon $, сделав предельный переход, получим $p_M(x + y) \le p_M(x) + p_M(y)$. $p_M(\lambda x) =

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (Колмогоров):

Хаусдорфово ТВП нормируемо тогда и только тогда, когда у нуля есть ограниченная выпуклая окрестность. ( TODO: : к чему это?)

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

В прямую сторону: если ТВП нормируемо, то $V_r = \{ x : \

[math]\triangleleft[/math]

</wikitex>