Компактный оператор

Напоминание: все рассматриваемые пространства считаем Банаховыми.

Определение:

Множество называется относительно компактным, если его замыкание компактно

Определение:

Линейный ограниченный оператор [math] A : X \to Y [/math] называется компактным, если [math] A [/math] переводит любое ограниченное подмножество [math] X [/math] в относительно компактное множество из [math] Y [/math].

Из определения ясно, что мы получаем усиление ограниченности, так как любое относительно компактное множество — ограничено.

Пример

Рассмотрим пространство [math] C[0,1] [/math]. Пусть [math] K(t, s) [/math] — непрерывно на [math] [0,1]\times[0,1] [/math] и ограничено: [math] | K(t,s) | \leq M [/math].

Введем оператор [math]A: C[0,1] \to C[0,1][/math] как [math] A(x,t) = \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds [/math], где [math] x(s) \in C[0,1] [/math].

Зададим норму [math] \| x \| = \max\limits_{s \in [0,1]} | x(s) | \implies |x(s)| \leq \| x \| [/math].

Утверждение:

Оператор [math] A(x,t) = \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds [/math] — компактный.

[math]\triangleright[/math]

[math] | A(x,t) | \leq M \cdot \| x \| [/math] [math] \| A x \| \leq M \cdot \| x \| [/math] Проверим, что реализуются условия теоремы Арцела-Асколи о предкомпактности множества в [math] C[a, b] [/math]: [math] T \subset C[0,1] [/math] — относительно компактное [math]\iff[/math] [math]\exists M\ \forall x \in T : \|x\| \leq M [/math] [math] \forall \varepsilon \gt 0 \ \exists \delta \gt 0 : | t'' - t' | \lt \delta \implies \forall x \in T : | x(t') - x(t'') | \lt \varepsilon [/math] — равностепенная непрерывность. Рассмотрим [math]V = \{ x \mid \|x\| \le 1\}[/math] и [math]A(V)[/math]. [math]\|K(u, z)\| \le M, \|A(x)\| \le M\|x\|, x \in V, \|x\| \le 1 [/math] [math]\|Ax\| \le M[/math] [math]|A(x, t'') - A(x, t')| = |\int\limits_0^1 (K(t'', s) - K(t', s)) x(s) ds|[/math] [math]K(u, z)[/math] непрерывна на компакте [math][0, 1] \times [0, 1][/math], следовательно, равномерно непрерывна на нем. Отсюда, [math]\forall \varepsilon \gt 0 \exists \delta \gt 0: |t'' - t'| \lt \delta \implies |K(t'', s) - K(t', s)| \lt \varepsilon \forall s \in [0, 1][/math]. Таким образом, [math]|A(x, t'') - A(x, t')| \le \int\limits_0^1 \varepsilon |x(s)| ds \le \varepsilon \|x\| \lt \varepsilon[/math], получили равностепенную непрерывность [math]A[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Критерий проверки компактности

Замечание: в бесконечномерном пространстве шар не будет компактом (следствие из теоремы Рисса о почти перпендикуляре), следовательно, [math]\mathcal{I}x = x[/math] — не компактен.

Для определения компактности используется критерий Хаусдорфа: множество компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и вполне ограниченно, то есть у него существует конечная [math]\varepsilon[/math]-сеть.

Произведение компактных операторов

Утверждение:

[math] A \in \mathcal{L} (X,Y), ~ B \in \mathcal{L} (Y,Z) [/math], [math] C = B \cdot A [/math] (произведение, суперпозиция). Тогда: Если [math] B [/math] ­— ограниченный, [math] A [/math] ­— компактный, то [math] C [/math] ­— компактный. Если [math] B [/math] ­— компактный, [math] A [/math] ­— ограниченный, то [math] C [/math] ­— компактный.

[math]\triangleright[/math]

<wikitex>Докажем первый случай, второй доказывается аналогично. Рассмотрим единичный шар $V = \{ x \mid \

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение (следствие):

Если [math] B [/math] — компактный оператор, то он (в бесконечномерном случае) не может быть непрерывно обратимым.

[math]\triangleright[/math]

От противного: пусть [math] \exists B^{-1} \implies I = B \cdot B^{-1} [/math] — компактный по доказанному утверждению, что невозможно в бесконечномерном случае.

[math]\triangleleft[/math]

TODO: Про компактность сопряженного оператора есть в книжке Люстерника и Соболева "Элементы функционального анализа" на стр. 266-267. Кто разберется и запилит нормальное доказательство сюда, тот молодец.

Утверждение:

Пусть [math] A [/math] ­— компактный, тогда [math] R(A) [/math] — сепарабельно (то есть, в [math] R(A) [/math] существует счетное всюду плотное подмножество).

[math]\triangleright[/math]

[math] X = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} V_n, \quad V_n = \{ x \mid \| x \| \lt n \} [/math] — счетное объединение шаров. [math] R(A) = A (X) = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A(V_n) [/math] [math] A(V_n) [/math] — относительно компактно. Используя теорему Хаусдорфа, можно показать, что любое относительно компактное множество сепарабельно: объединение [math]\varepsilon[/math]-сетей при [math]\varepsilon = \frac1n[/math] для [math]n[/math] от [math]1[/math] до [math]\infty[/math] счетно и оно будет всюду плотным в этом множестве. Счетное объединение сепарабельных множеств ­— сепарабельно, значит [math] R(A) [/math] — сепарабельно.

[math]\triangleleft[/math]