Неукорачивающие и контекстно-зависимые грамматики, эквивалентность

Определение:

Грамматика неукорачивающая, если все правила имеют вид [math]\alpha \to \beta[/math], где [math]|\alpha| \le |\beta|[/math] (возможно правило [math]$S$ \to \varepsilon[/math], но тогда S не встречается в правых частях правил).

Определение:

Грамматика контекстно-зависимая, если все правила имеют вид [math]\alpha A \beta \to \alpha \gamma \beta[/math], где [math]A[/math] - нетерминал, [math]\alpha[/math] и [math]\beta[/math] строки из нетерминалов, [math]\gamma[/math] не пуста (возможно правило [math]$S$ \to \varepsilon[/math], но тогда S не встречается в правых частях правил).

Теорема:

Для любой неукорачивающей грамматики [math]\Gamma_1[/math] существует эквивалентная контекстно-зависимая грамматика [math]\Gamma_2[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим правило из [math]\Gamma_1[/math], оно имеет вид [math]X_1 X_2 \ldots X_n \to Y_1 Y_2 \ldots Y_m[/math], где [math]m \ge n[/math] добавим в [math]\Gamma_2[/math] следующий набор правил: [math]X_1 X_2 \ldots X_n \to Z_1 X_2 \ldots X_n[/math] [math]Z_1 X_2 \ldots X_n \to Z_1 Z_2 \ldots X_n[/math] [math]\ldots[/math] [math]Z_1 Z_2 \ldots Z_{n-1} X_n \to Z_1 Z_2 \ldots Z_{n-1} Z_n[/math] [math]Z_1 \ldots Z_n \to Y_1 Z_2 \ldots Z_n[/math] [math]\ldots[/math] [math]Y_1 Y_2 \ldots Y_{n-1} Z_n \to Y_1 Y_2 \ldots Y_{n-1} Y_n \ldots Y_m[/math] Где нетерминалы [math]Z_{*}[/math] свои для каждого правила из [math]\Gamma_1[/math] В словах языка задаваемого грамматикой не может быть нетерминалов, поэтому если в процессе вывода будет применено правило [math]X_1 X_2 \ldots X_n \to Z_1 Y_2 \ldots Y_m[/math], то в последствии должны быть применены все остальные правила. В противном случае нетерминал [math]Z_1[/math] или [math]Z_n[/math] не исчезнут из слова. Получившаяся грамматика [math]\Gamma_2[/math] является эквивалентной грамматике [math]\Gamma_1[/math], так в результате применения правил строка [math]X_1 X_2 \ldots X_n[/math] перейдёт в строку [math]Y_1 Y_2 \ldots Y_m[/math]. Каждый набор правил либо будет применён полность, либо не будет применён полностью Получившаяся грамматика [math]\Gamma_2[/math] является контекстно-зависимой. Любая контекстно-зависимая грамматика является неукорачивающей, так как [math]\gamma[/math] не пуста, а поэтому [math]|\alpha A \beta| \ge |\alpha \gamma \beta|[/math]. Вывод: множества языков задаваемые неукорачивающими и контекстно-зависимыми грамматиками совпадают.

[math]\triangleleft[/math]