Определение кольца, подкольца, изоморфизмы колец

Определение:

Множество [math]R[/math], на котором заданы бинарные операции сложение и умножение, с определенными свойствами, называется кольцом. Свойства: [math]\forall a,b \in R: a+b=b+a[/math] - коммутативность по сложению. [math]\forall a,b,c \in R: a+(b+c)=(a+b)+c[/math] - ассоциотивность по сложению. [math]\exists 0 \in R: a+0=0+a=a[/math] - существование нейтрального элемента по сложению. [math]\forall a \in R\; \exists b \in R:a+b=b+a=0[/math] — существование обратного элемента относительно сложения; [math]\forall a,b,c \in R:(a \cdot b) \cdot c=a \cdot (b \cdot c)[/math] — ассоциативность по умножению [math]\forall a,b,c \in R[/math] [math]a \cdot (b+c)=a \cdot b+a \cdot c[/math] [math](b+c) \cdot a=b \cdot a+c \cdot a [/math] — дистрибутивность.

Подкольцо

Определение:

Множество [math]A \subset R[/math], которое определено относительно операций, определенных в [math]R[/math] называестя подкольцом.

Изоморфизм колец

Теорема

Пусть [math]R[/math] и [math]R'[/math] - множества, в каждом из которых определены операции сложения и умножения. Пусть [math]R[/math] изоморфно [math]R'[/math]. Тогда, если [math]R[/math] кольцо, то и [math]R'[/math] кольцо. Доказательство.
Нужно убедится,что если выполняются аксиомы кольца для [math]R[/math], то они выполняяютсяи для [math]R'[/math]. Докажем аксиому об существовании обратного элемента относительно сложения, остальное аналогично. Пусть [math]a' \in R'[/math], а [math]a[/math] его прообраз в [math]R[/math], тогда по аксиоме об существовании обратного элемента относительно сложения [math]\exists b: a+b=0[/math]. По изоморфизму [math]\exists b': b \rightarrow b'[/math], а также [math]a'+b'=0'[/math], значит в [math]R'[/math] также выполняется эта аксиома.

Примеры колец

• [math]\mathbb{Z}[/math] — целые числа.
• [math]\mathbb{Z}_n[/math] — кольцо вычетов по модулю натурального числа [math]n[/math].
• [math]\mathbb{Q}[/math] — кольцо рациональных чисел, являющееся полем.
• [math]\mathbb{R}[/math] — кольцо вещественных чисел, являющееся полем.
• [math]\mathbb{R}[x_1,x_2,...,x_n][/math] — кольцо многочленов от [math]n[/math] переменных над полем [math]\mathbb{R}[/math].