Определение
| Определение: |
| Цепная дробь — это выражение вида
[math]\langle a_0, a_1, a_2, a_3,\cdots \rangle = a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\ldots}}}\;[/math]
где [math]a_0[/math] есть целое число и все остальные [math]a_n[/math] натуральные числа.
Различают конечные и бесконечные цепные дроби. Любая конечная дробь [math]\langle a_0, a_1, a_2, a_3,\ldots, a_n \rangle[/math] представима в виде некоторой рациональной дроби [math]\frac{P_n}{Q_n}[/math], которую называют n-ой подходящей дробью. |
Цепные дроби для рациональных чисел
Для рациональных чисел цепная дробь имеет конечный вид. Кроме того, последовательность [math]a_i[/math] — это ровно та последовательность частных, которая получается при применении алгоритма Евклида к числителю и знаменателю дроби.
Цепные дроби как приближение к числу
Подходящие дроби можно рассматривать как последовательные приближения к некоторому вещественному числу. При любых значениях [math]a_i[/math], удовлетворяющих требованиям определения цепной дроби, последовательность подходящих дробей имеет предел. Кроме того, скорость сходимости можно оценить как [math]|\alpha-\frac{P_i}{Q_i}| \lt \frac{1}{Q_i^2}[/math].
Периодичность цепных дробей
Цепная дробь квадратичной иррациональности — периодична, а цепная дробь приведенной квадратичной иррациональности — чисто периодична.
Примеры разложения чисел в цепные дроби
- [math] \frac{7}{5}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}=\langle 1, 2, 2 \rangle[/math]
- [math] \sqrt{2} = 1+\frac{1}{\sqrt{2}+1}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{\sqrt{2}+1}}=\langle 1, 2, 2, \cdots \rangle[/math]
Свойства цепных дробей
Цепную дробь [math]\langle a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n \rangle[/math] можно записать в виде частного двух полиномов
[math] \frac{[a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n]}{[a_1, a_2, a_3,\cdots, a_n]}[/math], где [math][a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n][/math] — некоторый полином от [math]n+1[/math] переменной.
Эти полиномы удовлетворяют следующим свойствам:
- [math][a_0,\cdots, a_n][/math] — полином от [math]n+1[/math] переменной, состоящий из [math]F_{n+1}[/math] мономов.
- [math][a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n] = a_0[a_1, a_2, a_3,\cdots, a_n] + [a_2, a_3, a_4,\cdots, a_n][/math].
- [math][a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n] = [a_0, a_1,\cdots, a_{n - 1}]a_n + [a_0, a_1,\cdots, a_{n-2}][/math].
- [math][a_0, a_1, \cdots, a_n] = [a_n, a_{n-1}, \cdots, a_0] [/math]
Для числителей и знаменателей [math]n[/math]-ой подходящей дроби верны следующие формулы:
- [math]P_n = P_{n-1}a_n + P_{n-2}[/math]
- [math]Q_n = Q_{n-1}a_n + Q_{n-2}[/math]
- [math]P_nQ_{n-1}-P_{n-1}Q_n=(-1)^{n+1}[/math]
