403
правки
Изменения
статья неполная!
{{В разработке}}
{{TODO|t=ВАКАНСИЯ: ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ЧИТАТЕЛЬ. НУЖЕН, ЧТОБЫ ОЗНАКОМИТЬСЯ С ЭТИМ ТЕКСТОМ И ИСПРАВИТЬ КОСЯКИ}}
Последняя теорема показывает, что <tex>v</tex> {{---}} мера на <tex>\mathcal{R}</tex>.
Применим к объёму ячеек процесс Каратеодори. В результате <tex>v</tex> будет распространено на <tex>\sigma</tex>-алгебру множеств <tex>\mathcal{A} \subset \mathbb{R}^n</tex>.
{{Определение
|definition=Полученная мера <tex>\lambda_n</tex> {{---}} <tex>n</tex>-мерная мера Лебега (можно просто <tex>\lambda</tex>).
}}
{{Определение
|definition=Множества <tex>E\in\mathcal{A}</tex> {{---}} измеримые по Лебегу
}}
Цель этого параграфа {{---}} устрановить структуру множества, измеримого по Лебегу. Пойдём от простого к сложному, базируясь на общем критерии <tex>\mu^*</tex>-измеримости и на том, что <tex>\mathcal{A}</tex> {{---}} <tex>\sigma</tex>-алгебра.
<tex>\forall\bar x \in \mathbb{R}^n</tex> обозначим за <tex>\Pi_p = [\bar x - \frac1p, \bar x + \frac1p)</tex>
Тогда <tex>\{\bar x\} = \bigcap\limits_{p=1}^\infty \Pi_p</tex>
<tex>\{\bar x\}</tex> {{---}} одноэлементное множество. Так как каждая ячейка измерима по Лебегу, <tex>\mathcal{A}</tex> {{---}} <tex>\sigma</tex>-алгебра, то получаем, что любое одноэлементное множество(точка) измеримо по Лебегу.
По монотонности меры, <tex>\lambda(\bar x) \leq \lambda\Pi_p = v(\Pi_p) = \left(\frac{2}{p} \right)^n \xrightarrow{p\to\infty} 0</tex>
Значит, <tex>\lambda(\bar x) = 0</tex>. Итак, мера точки равна нулю.
<tex>E = \{\bar x_1, \bar x_2, \ldots, \bar x_n, \ldots \}</tex> {{---}} не более, чем счётное множество точек. Тогда <tex>\lambda E = \sum\limits_j \lambda\bar x_j = 0</tex>
Значит, любое счётное множество точек измеримо и нульмерно.
Возьмём <tex>I = [0; 1)</tex>, <tex>\lambda I = 1</tex>
...Тут конспект внезапно обрывается...
{{TODO|t=Achtung! Тут есть ещё что-то}}
{{TODO|t=ВАКАНСИЯ: ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ЧИТАТЕЛЬ. НУЖЕН, ЧТОБЫ ОЗНАКОМИТЬСЯ С ЭТИМ ТЕКСТОМ И ИСПРАВИТЬ КОСЯКИ}}
Последняя теорема показывает, что <tex>v</tex> {{---}} мера на <tex>\mathcal{R}</tex>.
Применим к объёму ячеек процесс Каратеодори. В результате <tex>v</tex> будет распространено на <tex>\sigma</tex>-алгебру множеств <tex>\mathcal{A} \subset \mathbb{R}^n</tex>.
{{Определение
|definition=Полученная мера <tex>\lambda_n</tex> {{---}} <tex>n</tex>-мерная мера Лебега (можно просто <tex>\lambda</tex>).
}}
{{Определение
|definition=Множества <tex>E\in\mathcal{A}</tex> {{---}} измеримые по Лебегу
}}
Цель этого параграфа {{---}} устрановить структуру множества, измеримого по Лебегу. Пойдём от простого к сложному, базируясь на общем критерии <tex>\mu^*</tex>-измеримости и на том, что <tex>\mathcal{A}</tex> {{---}} <tex>\sigma</tex>-алгебра.
<tex>\forall\bar x \in \mathbb{R}^n</tex> обозначим за <tex>\Pi_p = [\bar x - \frac1p, \bar x + \frac1p)</tex>
Тогда <tex>\{\bar x\} = \bigcap\limits_{p=1}^\infty \Pi_p</tex>
<tex>\{\bar x\}</tex> {{---}} одноэлементное множество. Так как каждая ячейка измерима по Лебегу, <tex>\mathcal{A}</tex> {{---}} <tex>\sigma</tex>-алгебра, то получаем, что любое одноэлементное множество(точка) измеримо по Лебегу.
По монотонности меры, <tex>\lambda(\bar x) \leq \lambda\Pi_p = v(\Pi_p) = \left(\frac{2}{p} \right)^n \xrightarrow{p\to\infty} 0</tex>
Значит, <tex>\lambda(\bar x) = 0</tex>. Итак, мера точки равна нулю.
<tex>E = \{\bar x_1, \bar x_2, \ldots, \bar x_n, \ldots \}</tex> {{---}} не более, чем счётное множество точек. Тогда <tex>\lambda E = \sum\limits_j \lambda\bar x_j = 0</tex>
Значит, любое счётное множество точек измеримо и нульмерно.
Возьмём <tex>I = [0; 1)</tex>, <tex>\lambda I = 1</tex>
...Тут конспект внезапно обрывается...
{{TODO|t=Achtung! Тут есть ещё что-то}}
