Изменения

Избавимся от требования наличия суммируемой мажоранты ==:

Пусть на E задана последовательность измеримых функций, каждая из которых почти всюду неотрицательна и <tex> f_n(x) \le f_{n+1}(x)</tex>. <tex> f(x) = \lim\limits_{n \to \infty} f_n(x) </tex> — почти везде конечна на <tex> E</tex>. Тогда:<tex> \lim \int\limits_E f_n = \int\limits_E f </tex> !!!ТРЕШ КАКОЙ-ТО В ФОРМУЛИРОВКЕ!!!.

В силу поточечной монотонности <tex> f_n</tex>, <tex> f </tex> как их предел, определена по теореме Вейерштрасса, предел измеримых функций измерим — все интегралы имеют смысл, функция неотрицательна.

<tex> \int\limits_E f < + \infty, 0 < f_n \le f</tex>

<tex> f </tex> — суммируемая мажоранта <tex> f_n </tex> и по теореме Лебега равенство({{TODO|t=???}}) выполняется.

<tex> \int\limits_E f = + \infty: \forall m < N </tex> по определению интеграла неотрицательной функции <tex> \exists E_m — </tex> хорошее для <tex> f: m < \int\limits_{E_m} f d \mu</tex>. <tex> f </tex> ограничена на <tex> E_m</tex>, мера <tex> E_m </tex> — конечна, то константа, которой определяется <tex> f</tex>, может рассматриваться, как суммируемая мажоранта для <tex> f_n </tex> и по теореме Лебега, <tex> \int\limits_{E_m} f_n \to \int\limits_{E_m} f</tex>, и, начиная с <tex> N: m < \int\limits_{E_m} f_n</tex>.

<tex> E_m \in subset E, f_n \ge 0</tex>, и по свойствам интеграла, <tex> \int\limits_{E_m} f_n \le \int\limits_{E} f_n </tex> и <tex> m < \int\limits_{E} f_n, \forall n > N</tex>, <tex> m </tex> — произвольное натуральное число, следовательно, <tex> \int\limits_{E} f_n \to + \infty = \int\limits_{E} f</tex>, что и требовалось доказать.

Пусть <tex> u_n(x) \ge 0 </tex> на <tex> E </tex> и измеримы и <tex> \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \int\limits_E u_n </tex> — сходится (<tex> < + \infty</tex>). Тогда <tex> \sum\limits_{n = 1}^{\infty} u_n(x) </tex> сходится почти всюду на <tex> E</tex>.

Все интегралы определены (неотрицательные функции). <tex> S_n = \sum\limits_{k = 1}^{n} u_k(x) </tex> пшшш. Значит, у них есть предел. Установить что предел <tex> + \infty </tex> на нульмерном множестве. <tex> E_1 = E(S(x) = + \infty) </tex>. <tex> S(x) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} u_n(x) </tex> {{TODO|t=блин, тут какое-то уг в конспекте}}

Но к частичным суммам на <tex> E_1 </tex> применима теорема Леви и <tex> \int\limits_{E_1} S_n \to + \infty</tex>, но <tex> \int\limits_{E_1} S_n \le \int\limits_E S_n = \sum\limits_{k=1}^n \int\limits_E u_k \to </tex> конечный предел.

Противоречие, <tex> \mu E_1 = 0</tex>, ч.т.д.