1679
правок
Изменения
→Теорема Леви: какой-то бред, кажется, но стало получше
Леви
|statement=
Пусть на E задана последовательность измеримых функций, каждая из которых почти всюду неотрицательна и <tex> f_n(x) \le f_{n+1}(x) </tex>. <tex> f(x) = \lim\limits_{n \to \infty} f_n(x) </tex> — почти везде конечна на <tex> E </tex>. Тогда <tex> \lim \int\limits_E f_n = \int\limits_E f </tex> !!!ТРЕШ КАКОЙ-ТО В ФОРМУЛИРОВКЕ!!!.
|proof=
В силу поточечной монотонности <tex> f_n </tex>, <tex> f </tex> как их предел, определена по теореме Вейерштрасса, предел измеримых функций измерим — все интегралы имеют смысл, функция неотрицательна.
<tex> \int\limits_E f < + \infty, 0 < f_n \le f </tex>
<tex> f </tex> — суммируемая мажоранта <tex> f_n </tex> и по теореме Лебега равенство({{TODO|t=???}}) выполняется.
<tex> \int\limits_E f = + \infty: \forall m < \in \mathbb N </tex> по определению интеграла неотрицательной функции <tex> \exists E_m </tex> хорошее для <tex> f: m < \int\limits_{E_m} f d \mu </tex>. <tex> f </tex> ограничена на <tex> E_m </tex>, мера <tex> E_m </tex> — конечна, то константа, которой определяется <tex> f </tex>, может рассматриваться, как суммируемая мажоранта для <tex> f_n </tex> и по теореме Лебега, <tex> \int\limits_{E_m} f_n \to \int\limits_{E_m} f </tex>, и, начиная с <tex> N: m < \int\limits_{E_m} f_n </tex>.
<tex> E_m \subset E, f_n \ge 0 </tex>, и по свойствам интеграла, <tex> \int\limits_{E_m} f_n \le \int\limits_{E} f_n </tex> и <tex> m < \int\limits_{E} f_n, \forall n > N </tex>, <tex> m </tex> — произвольное натуральное число, следовательно, <tex> \int\limits_{E} f_n \to + \infty = \int\limits_{E} f </tex>, что и требовалось доказать.
