403
правки
Изменения
Нет описания правки
При <tex>x = 0</tex> ряд сходится. При <tex>x \ne 0</tex>, <tex>\left|\sum\limits_{n=2}^\infty \sin nx \right| \le \frac{M(x)}{\sin x/2}</tex>, то есть, ограничен.
По признаку Абеля-Дирихле, ряд сходится. Мы имеем ряд, сходящийся в каждой точке (, но не может сходиться равномерно на Q, так как, иначе, он был бы рядом Фурье:. Пусть он сходится равномерно на <tex>Q</tex>. Тогда он сходится к непрерывной функции. Функция, непрерывная и <tex>2\pi</tex>-периодическая, следовательно, лежит в <tex>L_1</tex>. Значит, это {{---}} ряд Фурье этой функции (по определению). Но это не ряд Фурье. Противоречие.
Предположим, что это ряд Фурье. Тогда <tex>b_n(f) = \frac1{\ln n}</tex> и ряд <tex>\sum \frac1{n\ln n}</tex> должен был бы сходиться. Но по интегральному признаку Коши:
