38
правок
Изменения
Новая страница: «{{Определение |definition= Множество <tex>R</tex>, на котором заданы бинарные операции сложение и у…»
{{Определение
|definition=
[[Множество]] <tex>R</tex>, на котором заданы бинарные операции сложение и умножение, с определенными свойствами, называется <b>кольцом</b>.
Свойства:
*<tex>\forall a,b \in R: a+b=b+a</tex> - коммутативность по сложению.
*<tex>\forall a,b,c \in R: a+(b+c)=(a+b)+c</tex> - ассоциотивность по сложению.
*<tex>\exists 0 \in R: a+0=0+a=a</tex> - существование нейтрального элемента по сложению.
* <tex>\forall a \in R\; \exists b \in R:a+b=b+a=0</tex> — существование [[Обратный элемент|обратного элемента]] относительно сложения;
* <tex>\forall a,b,c \in R:(a \cdot b) \cdot c=a \cdot (b \cdot c)</tex> — ассоциативность по умножению
* <tex>\forall a,b,c \in R</tex>
**<tex>a \cdot (b+c)=a \cdot b+a \cdot c</tex>
**<tex>(b+c) \cdot a=b \cdot a+c \cdot a </tex> — [[дистрибутивность]].
}}
==Подкольцо==
{{Определение
|definition=
[[Множество]] <tex>A \subset R</tex>, которое определено относительно операций, определенных в <tex>R</tex> называестя <b>подкольцом</b>.
}}
==Изоморфизм колец==
===Теорема===
Пусть <tex>R</tex> и <tex>R'</tex> - множества, в каждом из которых определены операции сложения и умножения. Пусть <tex>R</tex> изоморфно <tex>R'</tex>. Тогда, если <tex>R</tex> кольцо, то и <tex>R'</tex> кольцо.
<i>Доказательство.</i><br>
Нужно убедится,что если выполняются аксиомы кольца для <tex>R</tex>, то они выполняяютсяи для <tex>R'</tex>. Докажем аксиому об существовании обратного элемента относительно сложения, остальное аналогично. Пусть <tex>a' \in R'</tex>, а <tex>a</tex> его прообраз в <tex>R</tex>, тогда по аксиоме об существовании обратного элемента относительно сложения <tex>\exists b: a+b=0</tex>. По изоморфизму <tex>\exists b': b \rightarrow b'</tex>, а также <tex>a'+b'=0'</tex>, значит в <tex>R'</tex> также выполняется эта аксиома.
|definition=
[[Множество]] <tex>R</tex>, на котором заданы бинарные операции сложение и умножение, с определенными свойствами, называется <b>кольцом</b>.
Свойства:
*<tex>\forall a,b \in R: a+b=b+a</tex> - коммутативность по сложению.
*<tex>\forall a,b,c \in R: a+(b+c)=(a+b)+c</tex> - ассоциотивность по сложению.
*<tex>\exists 0 \in R: a+0=0+a=a</tex> - существование нейтрального элемента по сложению.
* <tex>\forall a \in R\; \exists b \in R:a+b=b+a=0</tex> — существование [[Обратный элемент|обратного элемента]] относительно сложения;
* <tex>\forall a,b,c \in R:(a \cdot b) \cdot c=a \cdot (b \cdot c)</tex> — ассоциативность по умножению
* <tex>\forall a,b,c \in R</tex>
**<tex>a \cdot (b+c)=a \cdot b+a \cdot c</tex>
**<tex>(b+c) \cdot a=b \cdot a+c \cdot a </tex> — [[дистрибутивность]].
}}
==Подкольцо==
{{Определение
|definition=
[[Множество]] <tex>A \subset R</tex>, которое определено относительно операций, определенных в <tex>R</tex> называестя <b>подкольцом</b>.
}}
==Изоморфизм колец==
===Теорема===
Пусть <tex>R</tex> и <tex>R'</tex> - множества, в каждом из которых определены операции сложения и умножения. Пусть <tex>R</tex> изоморфно <tex>R'</tex>. Тогда, если <tex>R</tex> кольцо, то и <tex>R'</tex> кольцо.
<i>Доказательство.</i><br>
Нужно убедится,что если выполняются аксиомы кольца для <tex>R</tex>, то они выполняяютсяи для <tex>R'</tex>. Докажем аксиому об существовании обратного элемента относительно сложения, остальное аналогично. Пусть <tex>a' \in R'</tex>, а <tex>a</tex> его прообраз в <tex>R</tex>, тогда по аксиоме об существовании обратного элемента относительно сложения <tex>\exists b: a+b=0</tex>. По изоморфизму <tex>\exists b': b \rightarrow b'</tex>, а также <tex>a'+b'=0'</tex>, значит в <tex>R'</tex> также выполняется эта аксиома.
